【BZOJ2671】Calc（莫比烏斯反演）
阿新 • • 發佈：2018-07-07
spa 題解 cal ace 整除 span 統計 fin 個數
而\(b=yd=yk(x+y)\le n\)
所以確定了\(x,y\)之後，有\(\frac{n}{y(x+y)}\)個\(d\)
根據上面的式子，還可以知道\(y\lt\sqrt n\)
所以，我們要求的就是
\[\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\]
這樣直接算的復雜度是\(O(nlogn)\)
發現\(gcd\)的形式非常可以莫比烏斯反演
先把\(x,y\)反過來
直接莫比烏斯反演化簡
\[\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}\frac{n}{yd^2(x+y)}\]
復雜度？假的，直接艹吧。。
【BZOJ2671】Calc
題面
BZOJ
給出N，統計滿足下面條件的數對(a,b)的個數：
1.\(1\le a\lt b\le N\)
2.\(a+b\)整除\(a*b\)
我竟然粘了題面！！！
題解
還是今天菊開講的。
設出\(d=gcd(a,b)\)
那麽，設\(a=xd,b=yd,gcd(x,y)=1\)
\((x+y)d|xyd^2,x+y|xyd\)
根據輾轉相減的原理
可以得到\(gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1\)，所以\(x+y|d\)。
設\(d=k(x+y)\)，因為\(a<b\)，所以\(x<y\)，因為\(d=k(x+y)\le n\)
而\(b=yd=yk(x+y)\le n\)
所以確定了\(x,y\)之後，有\(\frac{n}{y(x+y)}\)個\(d\)
根據上面的式子，還可以知道\(y\lt\sqrt n\)
所以，我們要求的就是
\[\sum_{x=1}^{\sqrt n}\sum_{y=x+1}^{\sqrt n}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\]
這樣直接算的復雜度是\(O(nlogn)\)
發現\(gcd\)的形式非常可以莫比烏斯反演
先把\(x,y\)反過來
\[\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}[gcd(x,y)=1]\frac{n}{y(x+y)}\]
直接莫比烏斯反演化簡
\[\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{y=1}^{\sqrt n}\sum_{x=1}^{y-1}\frac{n}{yd^2(x+y)}\]
復雜度？假的，直接艹吧。。
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std; #define ll long long #define MAX 111111 int n,m;ll ans; bool zs[MAX]; int pri[MAX],mu[MAX],tot; ll Calc(int n,int m) { ll ret=0; for(int i=1;i<=m;++i) { int t=n/i; for(int j=i+1,k;j<(i<<1)&&j<=t;j=k+1) k=min((i<<1)-1,t/(t/j)),ret+=1ll*(k-j+1)*(t/j); } return ret; } int main() { cin>>n;m=sqrt(n);mu[1]=1; for(int i=2;i<=m;++i) { if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;i*pri[j]<=m;++j) { zs[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];else break; } } for(int i=1;i<=m;++i)if(mu[i]!=0)ans+=mu[i]*Calc(n/i/i,m/i); cout<<ans<<endl;return 0; }
【BZOJ2671】Calc（莫比烏斯反演）