本文是我在知乎的回答（https://www.zhihu.com/question/267405336/answer/435657618），為了把知識條理化，幹脆將其整理成文章，發在博客上。初學乍練，如有錯誤歡迎指正。

在線性代數中，一個 \({\displaystyle n\times n}\) 的矩陣 \(\mathbf{A}\)的跡（或跡數），是指\(\mathbf{A}\)的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作 \(\operatorname{tr}(\mathbf{A})\) 或 \(\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\)

下面用多項式根與系數的關系證明矩陣特征值之和等於矩陣的跡

\[|\lambda E - A|= \begin{vmatrix} \ \lambda-a_{11} & -a_{12}&\dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & \lambda-a_{nn} \ \end{vmatrix}=0\]

上式是一個以 \(\lambda\) 為未知數的一元n次方程，稱為n階方陣A的特征方程。其左端是 \(\lambda\)

特征方程在復數範圍內恒有解，其個數為方程的次數（重根按重數計算），因此n階矩陣A有n個特征值。

把特征方程寫為： \(b_{0}+\sum _{{k=1}}^{{n}}b_{k}\lambda^{k}=0\) 其中 \(b_k\) 是k次項的系數，由韋達定理（根與系數的關系），則有：

\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-{\frac{b_{n-1}}{b_{n}}}\]

其中 \(\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}\) 是特征方程的解之和（方陣A的特征值之和） 可以看出本例中 \(b_n=1\)

\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-b_{n-1} \quad \quad(1)\]

現在問題變成了求特征多項式n-1次項的系數 \(b_{n-1}\) 。

根據行列式定義，行列式是不同行不同列的項的乘積之和，本例中除了主對角線的乘積外，次數都小於n-1，因此n-1次項的系數 \(b_{n-1}\) 就是 $(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\ldots(\lambda-a_{nn}) $中 \(\lambda^{n-1}\) 的系數，也就是 \(-(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn})\) ，即：

\[b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn})\quad \quad (2)\]

把(2)代入(1)，得到：

\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}\quad\]

因此矩陣特征值之和等於矩陣的跡。

為什麽矩陣特征值之和等於矩陣的跡