前言

在OI學習過程中,我們常常會發現一些題目(尤其數據結構題)中,一些數據的範圍很大,但是涉及的數值的個數卻很少,同時我們想用一個數組的下標與這些數據建立一一對應關系,這時我們就需要離散化

大致思路

對於一個大小為\(N\)不含重復數字的數組\(a[N] (a[i]<=10^9)\),我們可以將\(a[]\)中的N個整數與\(1\) ~ \(N\)這\(N\)構成一一映射關系,也就是說把\(a[i]\)用一個\(1\)~\(N\)中的數字代替,這樣空間和時間復雜度都能變成與\(N\)相關

當然如果數組中有重復數據,你需要先去重(使用\(std::unique\)等)再進行上述操作

方式

• 結構體+\(sort\)

  對於大小為\(N\)不含重復數據的整型數組\(a[N]\),定義結構體

  struct Data{
   int x;//原數組中的數據
   int id;//原數組中儲存x的下標
  }d[N];

  然後以\(x\)為關鍵字進行排序,進行以下操作

  sort(d+1,d+1+N);//假設從1開始
  for(int i=1;i<=n;i++){
   a[d[i].id]=i;//按大小順序離散化
  }

  時間復雜度\(O(NlogN)\) 空間復雜度\(O(N)\)

  但是,使用這種方式的前提是數組無重復數據

• \(sort\)+\(lower\_bound\)

  這應該是最常見的離散化方式

  您只需要知道對於大小為\(N\)的數組\(a[]\)

  ,

  \(lower\_bound(a+1,a+1+N,X)-a\)返回\(a\)中第一個大於等於X的位置

  \(unique(a+1,a+1+n)-(a+1)\)返回將\(a\)數組去重後\(a\)的數組大小

  然後就不難理解下面代碼

  for(int i=1;i<=N;i++){
  scanf("%d",&a[i]);
  f[i]=a[i];
  }
  sort(f+1,f+1+N);
  int nn=unique(f+1,f+1+N)-(f+1);//去重
  for(int i=1;i<=N;i++){
  a[i]=lower_bound(f+1,f+1+nn,a[i])-f;
  }

  這樣\(f[i]\)

  儲存了從小到大排序後原來\(a\)中所有元素,\(a[i]\)中就儲存了按大小排序後,原本\(a[i]\)大小的排名,\(f[ \ a[i] \ ]\)則返回原本\(a[i]\)的值

• \(map\&unordered\_map\)

  如果您不知道STL中的\(map\),建議您先去了解再來看此篇文章

  其實思路很\(naive\),知道\(map\)用法的應該都能看懂

  map <int,int> g;
  int a[N],f[N],tot=0;
  for(int i=1;i<=N;i++){
   scanf("%d",&a[i]);
   if(!g[a[i]]){
      g[a[i]]=++tot;
      f[tot]=a[i];
   }
   a[i]=g[a[i]];
  }

  \(f[a[i]]\)就是原數組\(a[i]\)的值

  但是\(map\)是用紅黑樹實現的,儲存的元素是有序的

  而\(unordered\_map\)是用哈希表實現的

  而在這裏\(map\)純粹只是起到了\(hash\)的查找與賦值,用\(unordered\_map\)也能實現,相比較之下\(unordered\_map\)一般會更快一點(實際上您可以手寫一個哈希表完成上面的離散化操作)

  然而使用\(unordered\_map\)時註意,\(C++11\)之前使用需要

  #include <tr1/unordered_map>
  using namespace std;
  using namespace std::tr1;
  unordered_map <int,int>g;

  \(C++ 11\)之後則可以使用

  #include <unordered_map>
  using namespace std;
  unordered_map<int,int>g;

• \(pb\_ds\)中的\(hash\_table\)

  \(pb\_ds\)中有許多黑科技,您可以在這篇博客中了解:

  https://blog.csdn.net/Only_AiR/article/details/51940500

  其中就有個\(hash\_table\)，顧名思義,就是個蛤希表了,可以只用\(find()\)和\(operator[]\),十分方便

  然而使用它需要記一點東西,但你問我資不資瓷，當然是資瓷啊

  #include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
  #include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
  using namespace __gnu_pbds;
  cc_hash_table <int,int>g1;//兩種hash_table,都跑得和香港記者一樣快
  gp_hash_table <int,int>g2;

• 後記

  話說寫這篇博客還是因為這道題

  https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4241

  我調整各種離散化方式來看看哪個最快,同時在luogu的個人私題中同步測試

  然後給大家看看時間比較(因為怕影響大家評測把時間限制開的很小,難免會TLE,\(bzoj\)時限是80s)

  

  \(hash\_table\)不知道高到哪裏去

  然而戲劇性的是BZOJ 上我測出來是\(map\)最快!!! \(18000+ms\)

  其余的都比裸\(map\)慢了近\(1000\)~\(2000+\) $ $ \(ms\)

  很奇怪,BZOJ評測鴨太玄學了,如果有誰知道原因的可以解釋下謝謝

學習筆記--幾種離散化方式