題目鏈接：https://www.luogu.org/recordnew/show/8712459

　　　　　https://agc006.contest.atcoder.jp/tasks/agc006_c

題目描述

NN 匹のうさぎがいます。 うさぎ達は 11 から NN まで番號が振られています。 最初、うさぎ ii は數直線上の座標 x_ixi? にいます。

うさぎ達は體操をすることにしました。 11 セット分の體操は、次のような合計 MM 回のジャンプからなります。 jj 回目のジャンプでは、うさぎ a_jaj? ( 2\ \leq\ a_j\ \leq\ N-12 ≤ aj? ≤ N−1 ) がジャンプします。 このとき、うさぎ a_j-1aj?−1 かうさぎ a_j+1aj?+1 のどちらかが等確率で選ばれ（これをうさぎ xx とします）、うさぎ a_jaj? はうさぎ xx に関して対稱な座標へジャンプします。

以上の合計 MM 回のジャンプを 11 セット分の體操として、うさぎ達は KK セット分の體操を続けて繰り返します。 各うさぎについて、最終的な座標の期待値を求めてください。

輸入格式：

The input is given from Standard Input in the following format:

  $ N $  
  $ x_1 $     $ x_2 $     $ ... $     $ x_N $  
  $ M $       $ K $  
  $ a_1 $     $ a_2 $     $ ... $     $ a_M $  

輸出格式：

Print N lines. The i -th line should contain the expected value of the coordinate of the eventual position of rabbit i after K sets are performed.

The output is considered correct if the absolute or relative error is at most 10−9 .

輸入輸出樣例

3
-1 0 2
1 1
2

-1.0
1.0
2.0
 

3
1 -1 1
2 2
2 2

1.0
-1.0
1.0

5
0 1 3 6 10
3 10
2 3 4

0.0
3.0
7.0
8.0
10.0

3
-1 0 2
1 1
2

-1.0
1.0
2.0

3
1 -1 1
2 2
2 2

1.0
-1.0
1.0

5
0 1 3 6 10
3 10
2 3 4

0.0
3.0
7.0
8.0
10.0

制約

• 3 ≤ N ≤ 105
• xi? は整數である。
• ∣xi?∣ ≤ 10^9
• ≤ M ≤ 105
• 2 ≤ aj? ≤ N−1
• 1 ≤ K ≤ 10^18

Problem Statement

There are N rabbits on a number line. The rabbits are conveniently numbered 11 through N . The coordinate of the initial position of rabbit i is xi? .

The rabbits will now take exercise on the number line, by performing sets described below. A set consists of Mjumps. The j -th jump of a set is performed by rabbit aj? ( 2 ≤ aj? ≤ N−1 ).

For this jump, either rabbit aj?−1 or rabbit aj?+1 is chosen with equal probability (let the chosen rabbit be rabbit x ), then rabbit aj? will jump to the symmetric point of its current position with respect to rabbit x .

The rabbits will perform K sets in succession. For each rabbit, find the expected value of the coordinate of its eventual position after K sets are performed.

Constraints

• 3 ≤ N ≤ 105
• xi? is an integer.
• ∣xi?∣ ≤ 10^9
• 1 ≤ M ≤ 10^5
• 2 ≤ aj? ≤ N−1
• 1 ≤ K ≤ 10^18

Sample Explanation 1

うさぎ 2 がジャンプします。うさぎ 11 に関して対稱な座標へジャンプすると、座標 −2 へ移動します。 うさぎ 33 に関して対稱な座標へジャンプすると、座標 4 へ移動します。

よって、うさぎ 2 の最終的な座標の期待値は 0.5×(−2)+0.5×4=1.0 です。

Sample Explanation 2

x_ixi? は相異なるとは限りません。

Sample Explanation 4

Rabbit 22 will perform the jump. If rabbit 1 is chosen, the coordinate of the destination will be −2 . If rabbit 3 is chosen, the coordinate of the destination will be 4 . Thus, the expected value of the coordinate of the eventual position of rabbit 2 is 0.5×(−2)+0.5×4=1.0 .

Sample Explanation 5

xi? may not be distinct.

中文描述：

??只兔子排成了一行, 第??只兔子的初始位置為????.

兔子要進行鍛煉, 每一輪包含??次跳躍, 第??次是兔子 ????(2≤????≤??−1)進行跳躍, 它會等概率的選擇第????−1 或第????+1只兔子 (假設為??), 然後跳到當前位置關於??的 對稱點上.

這??次跳躍重復進行了??輪, 求最終每只兔子坐標的期望.

解題方法：

第??只兔子跳過第??只兔子之後坐標變為2∗??_??−??_??, 是線性的.

所以設????為第??只兔子位置的期望, 這個式子也成立.

進行完一次跳躍後,????變成了1/2(2??_??−1-x_i-1)+1/2(2??_??+1−??_??)=??_??−1+??_??+1−??_??.

設s??=??_??+1−??_??, 那麽進行一次跳躍相當於交換s_??和 s_??-1.

??_??−1 x_i ??_??+1 -> ??_??−1 ??_??−1+x_i+1-x_i x_i+1

s數組: x_i-x_i-1 x_i+1-x_i-> x_i+1-x_i x_i-x_i-1

我們先手動做一輪，得到交換後對應的位置。考慮dfs一遍找到形成的交換環，對每只兔子在它的環上走k步，最後再把差分的值加上就好.

代碼如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e5+15;
ll n,m,k,cnt;
ll vis[maxn],s[maxn],x[maxn],num[maxn],be[maxn],p[maxn],a[maxn];
vector <ll> q[maxn];
void dfs(ll x,ll dep)//找環 
{
    num[x]=dep;vis[x]=1;be[x]=cnt;
    q[cnt].push_back(x);
    if (!vis[p[x]]) dfs(p[x],dep+1);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",x+i);
    for (int i=1;i<n;i++) s[i]=x[i+1]-x[i];//差分序列 
    scanf("%lld%lld",&m,&k);
    for (int i=1;i<n;i++) p[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;i++) {scanf("%lld",a+i);swap(p[a[i]],p[a[i]-1]);}//一次置換的結果，記錄下一次置換兔子到哪了 
    for (int i=1;i<n;i++) if (!vis[i]) {dfs(i,0);++cnt;}
    ll now=x[1];
    printf("%lld\n",now);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        now+=s[q[be[i]][(num[i]+k)%q[be[i]].size()]];
        printf("%lld\n",now);
    }
    return 0;
}

[Atcoder Grand 006 C] Rabbit Exercise 解題報告 (期望DP)