樹狀數組進階 - 區間修改區間查詢OA信用盤平臺出租、二維樹狀數組
復制代碼
//BIT - 單點增加，區間查詢 - st
struct _BIT{
int N,C[MAXN];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void init(int n)//初始化共有n個點
{
N=n;
for(int i=1;i<=N;i++) C[i]=0;
}
void add(int pos,int val)//在pos點加上val
{
while(pos<=N)
{
C[pos]+=val;
pos+=lowbit(pos);
}
}
int sum(int pos)//查詢1~pos點的和
int ret=0;
while(pos>0)
{
ret+=C[pos];
pos-=lowbit(pos);
}
return ret;
}
}BIT;
//BIT - 單點增加，區間查詢 - ed
復制代碼
原理：
假設我們現在要維護的是a數組，我們實際存儲的是c數組，他們兩者的關系如圖：
（稱a數組為原數組，而c數組是a數組的樹狀數組。）
有：
復制代碼
C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8
復制代碼
c[i]不再是簡單的存儲a[i]，而是存儲了a[i]+a[i-1]+…+a[k]，它存儲了從a[i]往前若幹個元素的和，那麽如何確定k呢？這就關系到lowbit函數……
lowbit(x)函數返回的是什麽？先看下圖：
不難看出，lowbit(x)返回的是：若二進制下數字 xx 的尾部的零的個數為 k ，則lowbit(x) = 2k2k；
也就是說，c數組中，
若i為奇數，c[i]=a[i]c[i]=a[i]；
若i為偶數，而其最多能整除k次2，c[i]=a[i]+a[i?1]+?+a[i?2k+1]c[i]=a[i]+a[i?1]+?+a[i?2k+1]；
這樣一來，對於某個pos點的增加xx，只要不斷令pos+=lowbit(pos)，就相當於一直往父親節點走，所以我們在每個父親節點都要增加xx。
②區間修改，單點查詢BIT：
其實這個的原理就是：通過差分把這個區間修改、單點查詢的問題轉化為①；
首先，假設我們要記錄的數組是a[1:n]a[1:n]，那麽我們假設有d[i]=a[i]?a[i?1]d[i]=a[i]?a[i?1]，且d[1]=a[1]d[1]=a[1]，
顯然，就有a[i]=d[1]+d[2]+?+d[i]a[i]=d[1]+d[2]+?+d[i]，
我們在BIT中實際存儲的是數組d[1:n]d[1:n]（準確的說是d數組的樹狀數組）；
先說修改：
我們目標是給a[L:R]a[L:R]全部加上xx，那麽我們不難發現，其實d[L+1],d[L+2],?,d[R]d[L+1],d[L+2],?,d[R]都沒有變化，
而變化的只有：d[L]d[L]增加了xx，d[R+1]d[R+1]減少了xx；
所以只需要add(L,x),add(R+1,-x)即可。
再說查詢：
我們要單點查詢a[pos]a[pos]，由上可知a[pos]=d[1]+d[2]+?+d[pos]a[pos]=d[1]+d[2]+?+d[pos]，
那麽原來的sum(pos)函數不用修改，就正好能返回a[pos]a[pos]的值。
代碼：
復制代碼
//BIT - 區間修改，單點查詢 - st
struct _BIT{
int N,C[MAXN];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void init(int n)//初始化共有n個點
{
N=n;
for(int i=1;i<=N;i++) C[i]=0;
}
void add(int pos,int val)
{
while(pos<=N) C[pos]+=val,pos+=lowbit(pos);
}
void range_add(int l,int r,int x)//區間[l,r]加x
{
add(l,x);
add(r+1,-x);
}
int ask(int pos)//查詢pos點的值
{
int ret=0;
while(pos>0)
{
ret+=C[pos];
pos-=lowbit(pos);
}
return ret;
}
}BIT;
//BIT - 區間修改，單點查詢 - ed
復制代碼
③區間修改，區間查詢BIT：
這個就很騷氣了，這樣的BIT可以很輕松地應付線段樹模板題。
我們看到，由於我們目標記錄的是數組a[1:n]a[1:n]，而實際存儲的是d[1:n]d[1:n]，
那麽已經實現了區間修改，如何完成區間查詢呢？顯然，區間查詢的基礎是快速求數組a[1:n]a[1:n]的前綴和，
顯然數組a[1:n]a[1:n]的前綴和：
a[1]+a[2]+?+a[i]=d[1]×i+d[2]×(i?1)+?+d[i]×1a[1]+a[2]+?+a[i]=d[1]×i+d[2]×(i?1)+?+d[i]×1
不難發現右側可以化成：
d[1]×i+d[2]×(i?1)+?+d[i]×1=[d[1]×(i+1)+d[2]×(i+1)+?+d[i]×(i+1)]?[d[1]×1+d[2]×2+?+d[i]×i]=(i+1)×(d[1]+d[2]+?+d[i])?(d[1]×1+d[2]×2+?+d[i]×i)d[1]×i+d[2]×(i?1)+?+d[i]×1=[d[1]×(i+1)+d[2]×(i+1)+?+d[i]×(i+1)]?[d[1]×1+d[2]×2+?+d[i]×i]=(i+1)×(d[1]+d[2]+?+d[i])?(d[1]×1+d[2]×2+?+d[i]×i)
這樣一來，我們就可以想到，在原來的數組C[1:n]C[1:n]記錄C[i]=d[i]C[i]=d[i]的基礎上，
再搞一個數組C2[1:n]C2[1:n]記錄C2[1:n]=d[i]×iC2[1:n]=d[i]×i即可。
代碼：
復制代碼
//BIT - 區間修改，區間查詢 - st
struct _BIT{
int N;
ll C[MAXN],C2[MAXN];//分別記錄d[i]和d[i]i
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void init(int n)//初始化共有n個點
{
N=n;
memset(C,0,sizeof(C));
memset(C2,0,sizeof(C2));
}
void add(int pos,ll val)
{
for(int i=pos;i<=N;i+=lowbit(i)) C[i]+=val,C2[i]+=valpos;
}
void range_add(int l,int r,ll x)//區間[l,r]加x
{
add(l,x);
add(r+1,-x);
}
ll ask(int pos)//查詢pos點的值
{
ll ret=0;
for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ret+=(pos+1)*C[i]-C2[i];
return ret;
}
ll range_ask(int l,int r)
{
return ask(r)-ask(l-1);
}
}BIT;
//BIT - 區間修改，區間查詢 - ed
樹狀數組進階 - 區間修改區間查詢OA信用盤平臺出租、二維樹狀數組