本文章從以上兩位大佬的博客參考而來!再次感謝!

母函數，又稱生成函數，是ACM競賽中經常使用的一種解題算法，常用來解決組合方面的題目。

在數學中，某個序列的母函數(Generating function，又稱生成函數)是一種形式冪級數，其每一項的系數可以提供

關於這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱為母函數方法。

母函數可分為很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以

上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的

特性和問題的類型。

這裏先給出兩句話

1.“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來”

2.“母函數的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來，把離散數列間的相互結合關系對應成為冪級數間的

運算關系，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “

我們首先來看下這個多項式乘法：

母函數圖(1)

由此可以看出:

1.x的系數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的系數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………

n. x^n的系數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

進一步得到：

母函數圖(2)

母函數的定義

對於序列a0，a1，a2，…構造一函數：

母函數圖(3)

稱函數G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函數。

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函數來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函數1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函數1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函數1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函數1+1*x^4表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裏就是一個質量為2的砝碼。

那麽前面的1表示什麽？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裏1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

不知道大家理解沒，我們這裏結合前面那句話：

“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來“

接著討論上面的1+x^2，這裏x前面的系數有什麽意義？

這裏的系數表示狀態數(方案數)

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。(分析！)

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，系數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種 。

接著上面，接下來是第二種情況：

第二種：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這裏每種是無限的。

母函數圖(4)

以展開後的x^4為例，其系數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

母函數通常解決類似如下的問題：

給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？

某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。

某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。

……

解題過程

解題時，首先要寫出表達式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。

通用表達式為

(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))

K對應具體問題中物品的種類數。

v[i]表示該乘積表達式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。

n1[i]表示該乘積表達式第i個因子的起始系數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。

n2[i]表示該乘積表達式第i個因子的終止系數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。

對於表達式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。

解題的關鍵是要確定v、n1、n2數組的值。

通常n1都為0，但有時候不是這樣。

n2有時候是無限大。

通用模板:

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<stack>
 5 #include<queue>
 6 #include<iostream>
 7 #include<map>
 8 #include<vector>
 9 #define Inf 0x3f3f3f3f
10 #define PI acos(-1.0)
11 using namespace std;
12 const int MXAN=300+10;
13 int dp[1234];
14 int str[1234];
15 int main()
16 {
17     int m,n,i,j,pos;
18     int a[MXAN];
19     int b[MXAN];
20     while(cin>>n&&n)
21     {
22         for(int i=0;i<=300;i++)
23         {
24             a[i]=1;
25             b[i]=0;
26         }
27         for(int i=2;i<=17;i++)
28         {
29             for(int j=0;j<=n;j++)
30             {
31                 for(int k=0;k+j<=n;k+=i*i)
32                 {
33                     b[k+j]+=a[j];
34                 }
35             }
36             for(int j=0;j<=n;j++)
37             {
38                 a[j]=b[j];
39                 b[j]=0;
40             }
41         }
42         cout<<a[n]<<endl;
43     }
44     return 0;
45 }

我們來解釋下上面標誌的各個地方：(***********！！！重點！！！***********)

① 、首先對c1初始化，由第一個表達式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

② 、 i從2到n遍歷，這裏i就是指第i個表達式，上面給出的第二種母函數關系式裏，每一個括號括起來的就是一個表達式。

③、j 從0到n遍歷，這裏j就是(前面幾個表達式累乘的表達式)裏第j個變量，如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系數，i=2執行完之後變為

（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合並後的第一個括號的四個變量的系數。

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表達式的增量是i）。

⑤ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從一個表達式中開始的。

生成函數(母函數)入門詳解