定義簡化版：

置換，就是一個1~n的排列，是一個1~n排列對1~n的映射

置換群，所有的置換的集合。

經常會遇到求本質不同的構造，如旋轉不同構，翻轉交換不同構等。

不動點：一個置換中，置換後和置換前沒有區別的排列

Burnside引理：本質不同的方案數=每個置換下不動點的個數÷置換總數（一個平均值）

Polya定理：一個置換下不動點的個數=顏色^環個數。（輔助Burnside引理，防止枚舉不動點復雜度過高）

這篇文章寫得很詳細了（具體的在此不說了）：

Burnside引理與Polya定理

**特殊模型的環個數：

①旋轉同構，N個點，每個點移動k步（0<=k<=n-1），環個數gcd(k,N)

證明：

1.對於k是N的約數，顯然成立。一個環用N/k個，可以分成N/(N/k)=k個環。gcd(k,N)=k也成立。

2.當k不是N的約數，最小的環長度是：lcm(N,k),環用的端點是：lcm/k個，可以湊成N/(lcm/k)=N*k/lcm=gcd(N,k)個。

證畢。

②對稱同構：

奇數個點對稱：1+（n-1）/2個（軸一定過一個頂點）

偶數：按邊對稱：n/2個

按點對稱：2+（n-2）/2個。

（證明顯然，畫圖自行理解）

**

例題：poj2154 Color

題解：

思路：列出式子，轉化每個因子作為gcd的貢獻。然後處理成歐拉函數即可。

而且，1/n的分母，因為化簡的時候消掉了，不用求逆元之類的。（況且p不是質數，要EXLUCAS。。。）

（類似longge的問題（雖然這篇博客沒用歐拉函數）：[SDOi2012]longge的問題）

置換群和Burnside引理，Polya定理