WC上wwwwodddd講的整數和多項式相關裡面最後又burnside引理的一部分
被生成函式調戲瘋了的我突然斷線重連
坐在禮堂最後一排的沙發位上和老黃人瘋狂口糊
不過聽課的時候想的不是很細，重新整理了一發

大概就是

本質不同的方案數=1置換個數∑cnti=0在置換i下不變的方案數$本質不同的方案數=\frac{1}{置換個數}\sum _{i=0}^{cnt}在置換i下不變的方案數$

至於polya計數法就是求置換i下不變的方案數，將它理解為：把置換拆成若干個迴圈，每個迴圈顯然要染一樣的顏色，那麼方案數=顏色個數^迴圈個數

bingo，題目走起

Problem1 Path

• 在一個 n×n 的網格中，從左下角到右上角，每次向上或者向右 走一格，一共需要向右走 n 次，向上走 n 次。輸入 n(1 ≤ n ≤
  10^6)，問本質不同的方案有多少種。結果對 p = 10^9 + 9 取模。
  如果兩個方案可以通過對稱和旋轉變成相同的，我們認為他們本質相同。

解法：路徑可以表示成長度為2n的01串，即每一步向上或者向右，對稱即對這個01串翻轉，或者對這個01串按位取反（注意這個是可以寫成置換形式的）。對於種置換分別討論：
1、不翻轉不取反，方案數=Cn2n$C_{2n}^n$
2、翻轉不取反，如果要不變那麼i和n-i+1位要相同，把01串折半考慮即可，方案數=Cn2n$C_n^{\frac{n}{2}}$，若01串長度為奇數則為0
3、不翻轉 取反，這怎麼可能相同啊，方案數為0
4、翻轉且取反，同樣折半考慮，第i和第n-i+1位不同，01個數總是相等的，所以任意半個01串翻折取反後都是合法的，方案數為2n$2^n$
burnside引理，上面四個加起來除以四就行了

Problem2 Ring

• 一個由 n(2 ≤ n ≤ 10^9) 個珠子組成的環，我們要將所有珠子染 成 c(1 ≤ c ≤ 10^9)
  種顏色之一。問存在多少種本質不同的方案， 結果對 10^9 + 7 取模。 當兩種方案通過旋轉後變得相同時，我們認為他們本質相同。
  但是不能翻轉。

觀察置換，會發現移動p−1$p-1$位的置換存在ngcd(p,n)$\frac{n}{gcd(p,n)}$個迴圈節，根據burnside引理，ans=1n∑ni=1cngcd(p,n)$ans=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{c}^{\frac{n}{gcd(p,n)}}$，把它寫成尤拉函式的形式ans=1n∑d|nϕ(nd)c(nd)$ans=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})c^{(\frac{n}{d})}$，列舉約數的時間代價就能求出來。

Problem3 Ring

• 一個由 n(2 ≤ n ≤ 109) 個珠子組成的環，我們要將所有珠子染 成 黑白兩種顏色。但是黑色不能相鄰，問有多少種本質不同的
  方案，結果對 109 + 7 取模。 當兩種方案通過旋轉後變得相同時，我們認為他們本質相同。 但是不能翻轉。

ans=1n∑d|nϕ(nd)f(nd)d$ans=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})f_d^{(\frac{n}{d})}$
推公式的方法與Problem2同理
其中fd$f_d$為長度為d$d$的合法方案數，計算方法為f1=1$f_1=1$，f2=3$f_2=3$，fn=fn−1+fn−2$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
講題的時候和老黃人已經想出來解法，但是不會證，滿心期待地準備聽證明結果講踢人略過去。回來之後大概想了一下，大概是如果要放一個白色的球，那麼方案數為fn−1$f_{n-1}$，若放一個黑色的球，上一個結尾如果是黑色球的話那麼我們這次放白球+黑球，上一個結尾如果是白色球的話我們這次放黑球+白球，方案數為fn−2$f_{n-2}$，得到轉移fn=fn−1+fn−2$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

Problem4 Face

• 一個由 n×m 的矩形，我們要用他非常正常地密鋪整個平面， 我們要將所有格子染成 c 種顏色。問有多少種本質不同的方案， 結果對 10^9+7 取模。 當兩種方案看起來一樣時，即矩形通過迴圈平移時一樣，我們認 為他們本質相同。 1 ≤ n ≤ 109,1 ≤ m ≤ 109,1 ≤ c ≤ 10^9

嗯這是一個矩陣，所以它的置換也是一個矩陣，這個矩陣也是可以找迴圈節的，兩維分別位移a和b個單位的時候，矩陣的迴圈節為nmlcm(a,

相關推薦

burnside引理+polya計數法小結

WC上wwwwodddd講的整數和多項式相關裡面最後又burnside引理的一部分 被生成函式調戲瘋了的我突然斷線重連 坐在禮堂最後一排的沙發位上和老黃人瘋狂口糊 不過聽課的時候想的不是很細，重新整理了一發 大概就是 本質不同的方案數=1置換個

洛谷 P3307 [SDOI2013]項鍊 burnside引理+polya定理+莫比烏斯反演

題目描述 項鍊是人體的裝飾品之一，是最早出現的首飾。項鍊除了具有裝飾功能之外，有些項 鏈還具有特殊顯示作用，如天主教徒的十字架鏈和佛教徒的念珠。 從古至今人們為了美化人體本身，也美 化環境，製造了各種不同風格，不同特點、不同式樣的項鍊，滿足了不同膚色、不同民族、

ACM_置換群 burnside引理 Polya定理

置換群也是群論當中一個比較重要的內容，可是在離散課上老師直接跳過了這章內容我也是……(日了dog了)，自己看了半天資料總算是有點眉目了。 1.置換群： 首先我們來介紹一下置換，設S為一個n個元素的集合

ACM 置換群 burnside引理 Polya定理

分享一下我老師大神的人工智慧教程！零基礎，通俗易懂！http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也歡迎大家轉載本篇文章。分享知識，造福人民，實現我們中華民族偉大復興！        

等價類計數（Polya定理/Burnside引理）學習筆記

　　參考：劉汝佳《演算法競賽入門經典訓練指南》 　　感覺是非常遠古的東西了，幾乎從來沒有看到過需要用這個的題，還是學一發以防翻車。 　　置換：排列的一一對映。置換乘法相當於函式複合。滿足結合律，不滿足交換律。 　　置換的迴圈分解：即將置換看成一張有向圖，分解成若干迴圈。迴圈的數量稱為迴圈節。 　　以置

Burnside引理，Polya定理和一些計數問題(1)

變換 相同 不同的 觀察 本質 exist 關系 不變 陪集 Burnside引理 考慮一個$S$上的置換群$G$. 對於$u,v \in S$,定義它們“等價”當且僅當存在一個$G$中的置換，將$u$變為$v$.容易發現，這一關系是一個等價關系.設$E(k)$表示$k$所

等價類計數：Burnside引理 & Polya定理

提示: 本文並非嚴謹的數學分析，有很多地方是自己瞎口胡的，僅供參考。有錯誤請不吝指出 :p ## 1. 群 ### 1.1 群的概念 群 $(S,\circ)$ 是一個元素集合 $S$ 和一種二元運算 $ \circ $ 的合稱，其滿足以下性質。 ##### 封閉性 >對於 $\forall a,b

Burnside引理和Polya定理

開始 多少 tails 沒有 -s 圖片 detail 最簡 方案 轉載自：https://blog.csdn.net/whereisherofrom/article/details/79631703 Burnside引理 　　筆者第一次看到Burnside引理那個公式的時

Burnside引理與Polya定理

本質 left sum bsp 之間 染色 polya begin 兩個 感覺這兩個東西好鬼畜= = ，考場上出了肯定不會qwq。不過還是學一下吧用來裝逼也是極好的 群的定義 與下文知識無關。。 給出一個集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的

置換群和Burnside引理，Polya定理

因子 不同的 mir details 構造 itl 置換群 模型 遇到 定義簡化版： 置換，就是一個1~n的排列，是一個1~n排列對1~n的映射 置換群，所有的置換的集合。 經常會遇到求本質不同的構造，如旋轉不同構，翻轉交換不同構等。 不動點：一個置換中，置換後和置換前沒有

burnside引理&polya定理

連接 集合 置換群 產生 side 交換 進行 置換 polya burnside引理&polya定理 置換： 置換即是將n個元素的染色進行交換，產生一個新的染色方案。 群： 一個元素的集合G與一個二元運算(*)構成一個群。群滿足一下性質： 封閉性：\(\fo

【數學專題】(二) Burnside引理和Polya定理

Burnside引理 　　筆者第一次看到Burnside引理那個公式的時候一頭霧水，找了本組合數學的書一看，全是概念。後來慢慢從Polya定理開始，做了一些題總算理解了。本文將從最簡單的例子出發，解釋Burnside引理和Polya定理。然後提供一些自己做過的和上述定理相關的

Burnside引理和Polya定理之間的聯絡

最近，研究了兩天的Burnside定理和Polya之間的聯絡，百思不得其解，然後直到遇到下面的問題： 對顏色限制的染色 例：對正五邊形的三個頂點著紅色，對其餘的兩個頂點著藍色，問有多少種非等價的著色？ 其中置換的方法有旋轉 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 21

[學習筆記]置換群 置換群和Burnside引理，Polya定理

這是群論。 置換群是群論的一種：必須要知道的： 置換群和Burnside引理，Polya定理   理解一下； 這裡置換就是旋轉同構的表示，方案就是“染色方案” m種置換，假如所有可能的方案，每種同構的方案都算了m次。（每種置換都有一次），那麼直接除以m即可。 但是有的方案並沒有被計

Burnside引理和polay計數學習筆記

首先提出一個問題，在一個2*2的矩陣裡染色，旋轉後相同算作一種，問有多少種染色方法。 顯然窮舉有那麼多種，然後發現，（3，4，5，6）是同一種，（7，8，9，10）是一種，（11，12）是一種，（13，14，15，16），1是一種，2是一種。 發

【BZOJ1004】Cards（組合數學，Burnside引理）

getchar 多次 等價 要求 std tdi cst 多少 存在 【BZOJ1004】Cards（組合數學，Burnside引理） 題面 Description 　　小春現在很清閑,面對書桌上的N張牌,他決定給每張染色,目前小春只有3種顏色:紅色,藍色,綠色.他詢問Su

【BZOJ3202】項鏈（莫比烏斯反演，Burnside引理）

相同 可能 urn cst i+1 arp com 最大 要求 【BZOJ3202】項鏈（莫比烏斯反演，Burnside引理） 題面 BZOJ 洛谷 題解 首先讀完題目，很明顯的感覺就是，分成了兩個部分計算。 首先計算本質不同的珠子個數，再計算本質不同的項鏈個數。 前面一個

BZOJ1004 HNOI2008Cards（Burnside引理+動態規劃）

　　直接給了一個置換群（當然要自己手動加上不洗牌的情況）。考慮求不動點數量即可。對於一個置換，求出所有迴圈的長度，然後設f[i][x][y]為給前i個迴圈著色後，用了x張紅色卡片、y張綠色卡片的方案數，dp一發即可。 #include<iostream> #include<cstd

polya計數學習小結

最近半個月以來一直在看《組合數學》，馬馬虎虎也算翻完了，理解的也很淺，接下來的一個月中，我將把主要精力放在做數學題上同時鞏固總結這一 個月以來所學的數論組合數學知識。那就先從Polya計數法開始吧。 Burnside定理：首先介紹一下有關置換群的一些知識。 置換：設X是一個

【POJ2888】Magic Bracelet-Burnside引理+數論+DP矩陣優化

測試地址：Magic Bracelet 題目大意：要用N(≤109)顆珠子連成環形的手鐲，共有M(≤10)種不同的珠子，規定K個條件，每個條件規定某兩種珠子不能相鄰，旋轉後相同的方案視作相同，問有多少