1、poj 3241 Object Clustering

　　題意：平面上有n個點，點之間的距離采用曼哈頓距離衡量。求一個最小距離X，使得在把這些點分為k組後，每組中兩兩點之間的距離不超過X。

　　思路：首先我們這麽想，如果所有點都在1個組中，即k=1時，那麽所要求的X即為該n個點的曼哈頓最小生成樹的最大邊；當k=2時，如果我們將最小生成樹的最大邊割開，形成2組，答案仍未原最小生成樹的第2大的邊（不會比之還小）……以此類推，可轉換為求解平面上n個點的曼哈頓距離最小生成樹的第k大的邊的長度。

　　接下來，就是怎麽構造曼哈頓最小生成樹。如果我們將所有點兩兩建邊再去尋找最小生成樹，在n很大的情況下是不合適的，況且其中有一些邊也沒有必要建。我們把平面坐標分為8個區域：

（轉自：https://blog.csdn.net/touwangyi/article/details/77017360）

　　我們發現，根據對原點對稱，我們分為四組：R1與R5，R2與R6，R3與R7，R4與R8。對於R1和R5內的點，假設當前點為O，我們在其位置上建立直角坐標系，那麽對於其R1方向內的點A，B，我們沒有必要連接O、B，只需連接O、A。因此，對於所有yi-yo>xi-xo，xi>xo即yi-xi>yo-xo，xi>xo的點i，找到最小的xi+yi那個點，將其與點O相連（記錄下邊）。這樣，我們對點按照x為第一關鍵字升序、y為第二關鍵字升序，然後用樹狀數組維護區間最小值（xi+yi），用yi-xi離散化後的編號作為樹狀數組的下標，從最後一個點起更新樹狀數組。

　　對於其余區域，我們計算完R1與R5後，先讓所有點關於y=x對稱，則R2、R6內的點轉到R1、R5區域，用對待原R1、R5內的點同樣對待它們。因此，類似地，我們通過3次旋轉、4次更新樹狀數組和連邊，就得到所有有效的邊，接下來，利用最小生成樹原理，找到第n-1-(k-1)次添加進生成樹的邊的邊權即可。

  1 #include<iostream>
  2 #include<vector>
  3 #include<algorithm>
  4 using namespace std;
  5 const int maxn = 1e5 + 10
 
;
  6 const int INF = 0x3f3f3f3f;
  7 int n,k;
  8 /*樹狀數組維護最小值*/
  9 struct node1
 10 {
 11     int val, id;//val表示ai+bi,id表示對應的點
 12 }tree[maxn];
 13 void tree_init()
 14 {
 15     for (int i = 0; i < maxn; i++) tree[i].val = INF, tree[i].id = -1;
 16 }
 17 int lowbit(int x)
 18 {
 19     return x & (-x);
 20 }
 21 void update(int x, int val, int id)
 22 {
 23     while (x)
 24     {
 25         if (tree[x].val > val) tree[x].val = val, tree[x].id = id;
 26         x -= lowbit(x);
 27     }
 28 }
 29 int query(int x, int MAX)
 30 {
 31     int minv = INF, ans = -1;
 32     while (x <= MAX)
 33     {
 34         if (tree[x].val < minv) minv = tree[x].val, ans = tree[x].id;
 35         x += lowbit(x);
 36     }
 37     return ans;
 38 }
 39 /*樹狀數組結束*/
 40 struct P
 41 {
 42     int ai, bi,id;
 43     friend bool operator<(const P&p1, const P&p2)
 44     {
 45         if (p1.ai == p2.ai) return p1.bi < p2.bi;
 46         else return p1.ai < p2.ai;
 47     }
 48 }points[maxn];
 49 struct EDGE
 50 {
 51     int from, to, dist;
 52     EDGE(int ff=0,int uu=0,int dd=0):from(ff),to(uu),dist(dd){}
 53     friend bool operator<(const EDGE&e1, const EDGE&e2)
 54     {
 55         return e1.dist < e2.dist;
 56     }
 57 }edge[maxn<<1];
 58 int totedge;
 59 void addedge(int u, int v,int id1,int id2)
 60 {
 61     edge[totedge] = EDGE(u, v, abs(points[id1].ai-points[id2].ai)+abs(points[id1].bi-points[id2].bi));
 62     totedge++;
 63 }
 64 int v1[maxn];//bi-ai
 65 vector<int>all;
 66 int sz;
 67 int get_id(int v)
 68 {
 69     return lower_bound(all.begin(), all.end(), v) - all.begin()+1;
 70 }
 71 void R1_addedge()
 72 {//對R1、R5內點建邊
 73     sort(points + 1, points + 1 + n);
 74     all.clear();
 75     for (int i = 1; i <= n; i++) v1[i] = points[i].bi - points[i].ai, all.push_back(v1[i]);
 76     sort(all.begin(), all.end());
 77     all.erase(unique(all.begin(), all.end()), all.end());
 78     sz = all.size();
 79     tree_init();
 80     for (int i = n; i >= 1; --i)
 81     {
 82         int pos = get_id(v1[i]);
 83         int tans = query(pos, sz);
 84         if (tans != -1)
 85         {
 86             addedge(points[i].id, points[tans].id, i, tans);
 87         }
 88         update(pos, points[i].ai + points[i].bi, i);
 89     }
 90 }
 91 /*並查集*/
 92 int pre[maxn];
 93 int Find(int x)
 94 {
 95     if (pre[x] == x) return x;
 96     else
 97     {
 98         int fa = pre[x];
 99         pre[x] = Find(fa);
100         return pre[x];
101     }
102 }
103 /*
104 連好R1域後，把所有點按直線y = x翻轉（此時初始的R2域的到了R1域，初始的R3域的到了R8域，初始的R4域的到了R7域），就可以求R2域了；再把所有點按直線x = 0翻轉（此時初始的R3域（之前在R8域）的到了R1域，初始的R4域（之前在R7）的到了R2域），就可以求R3域了；再把所有點按直線y = x翻轉（此時初始的R4域（之前在R2域）的到了R1域，就可以求R4域
105 */
106 void ManHattan_addedge()
107 {
108     for (int dir = 0; dir < 4; dir++)
109     {
110         if (dir == 1 || dir == 3)
111         {
112             for (int i = 1; i <= n; i++) swap(points[i].ai, points[i].bi);
113         }
114         else if (dir == 2)
115         {
116             for (int i = 1; i <= n; i++) points[i].ai = -points[i].ai;
117         }
118         R1_addedge();
119     }
120 }
121 int k_ans;
122 void solve()
123 {
124     for (int i = 0; i <= n; i++) pre[i] = i;
125     sort(edge, edge + totedge);
126     int cur = 0, remain = n - 1,now=0;
127     while (remain&&now<totedge)
128     {
129         int u = edge[now].from, v = edge[now].to;
130         int fu = Find(u), fv = Find(v);
131         if (fu != fv)
132         {
133             remain--, cur++;
134             if (remain == k - 1)
135             {
136                 k_ans = edge[now].dist;
137                 return;
138             }
139             pre[fu] = fv;
140         }
141         now++;
142     }
143 }
144 int main()
145 {
146     while (~scanf("%d%d", &n, &k) && n)
147     {
148         totedge = 0;
149         for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &points[i].ai, &points[i].bi), points[i].id = i;
150         ManHattan_addedge();
151         solve();
152         printf("%d\n", k_ans);
153     }
154 
155     return 0;
156 }

曼哈頓最小生成樹