題目鏈接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2486

分析

看上去又是一道強行把序列上問題搬運到樹上的裸題,然而分析之後發現並不然...

首先我們考慮如何在序列上維護信息:從最簡單的想起,如果兩個相鄰的元素合並,顯然是這兩個元素所含顏色段個數(其實就是1)加起來,如果兩個元素顏色相同就減1;那麽兩個分別含有兩個元素的相鄰區間合並,還是把這兩個區間所含顏色段個數加起來,如果左區間最右邊的顏色等於右區間最左邊的顏色就減去1.

如此我們已經得到線段樹維護信息的方法,記錄區間所含顏色段個數,區間最左邊顏色及區間最右邊顏色,當然為了\(pushdown\)我們還得維護一個\(tag\)

但是在樹鏈剖分查詢兩點之間時就與序列上不同了.有一個問題,就是當前鏈最左邊的顏色如果和上面那條鏈最右邊的顏色相等的話,需要將貢獻減1.有一個\(naiive\)的方法是每次查詢鏈時再查一下上面那條鏈最右邊的顏色(其實就是單點查詢\(fa[top[x]]\)的顏色),然後這個方法看起來不優美,其實有個更妙的方法

我們每次查完一條鏈後記錄該鏈最左邊的顏色,同時將該鏈最右邊的顏色與上一次記錄的值比較。看起來很容易但有個問題就是你可能是從\(LCA\)兩個不同的子樹上向LCA跳,然後從 @ qscqesze_lca 的題解中學到了一個小trick輕易解決了這個問題,請看代碼

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#define ll long long 
#define ri register int 
#define ull unsigned long long 
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))ne=c==‘-‘;
    x=c-48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
int n,m;
struct Edge{
    int ne,to;
}edge[maxn<<1];
int h[maxn],num_edge=1;
inline void add_edge(int f,int to){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=to;
    h[f]=num_edge;
}
int col[maxn];
int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],tot=0,top[maxn],son[maxn];
void dfs_1(int now){
    int v;size[now]=1;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa[now])continue;
        dep[v]=dep[now]+1,fa[v]=now;
        dfs_1(v);
        size[now]+=size[v];
        if(!son[now]||size[v]>size[son[now]])son[now]=v;
    }
    return ;
}
void dfs_2(int now,int t){
    int v;top[now]=t,dfn[now]=++tot,rnk[tot]=now;
    if(!son[now])return ;
    dfs_2(son[now],t);
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa[now]||v==son[now])continue;
        dfs_2(v,v);
    }
    return ;
}
int num[maxn<<2],lc[maxn<<2],rc[maxn<<2],tag[maxn<<2];
int L,R,dta;
void build(int now,int l,int r){
    tag[now]=-1;
    if(l==r){
        num[now]=1;
        lc[now]=rc[now]=col[rnk[l]];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(now<<1,l,mid);
    build(now<<1|1,mid+1,r);
    num[now]=num[now<<1]+num[now<<1|1]-(rc[now<<1]==lc[now<<1|1]?1:0);
    lc[now]=lc[now<<1],rc[now]=rc[now<<1|1];
    return ;
}
inline void pushdown(int now){
    if(tag[now]!=-1){
        tag[now<<1]=tag[now<<1|1]=tag[now];
        lc[now<<1]=lc[now<<1|1]=lc[now];
        rc[now<<1]=rc[now<<1|1]=rc[now];
        num[now<<1]=num[now<<1|1]=1;
        tag[now]=-1;
    }
    return ;
}
void update(int now,int l,int r){
    if(L<=l&&r<=R){
        num[now]=1;
        lc[now]=rc[now]=dta;
        tag[now]=dta;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(now);
    if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
    if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
    num[now]=num[now<<1]+num[now<<1|1]-(rc[now<<1]==lc[now<<1|1]?1:0);
    lc[now]=lc[now<<1],rc[now]=rc[now<<1|1];
    return ;
}
int chain_lc,chain_rc;
int query(int now,int l,int r){
    if(L==l)chain_lc=lc[now];
    if(R==r)chain_rc=rc[now];
    if(L<=l&&r<=R){
        return num[now];
    }
    int ans=0,mid=(l+r)>>1;
    pushdown(now);
    if(L<=mid&&mid<R)ans=query(now<<1,l,mid)+query(now<<1|1,mid+1,r)-(rc[now<<1]==lc[now<<1|1]?1:0);
    else if(L<=mid)ans=query(now<<1,l,mid);
    else if(mid<R)ans=query(now<<1|1,mid+1,r);
    //num[now]=num[now<<1]+num[now<<1|1]-(rc[now<<1]==lc[now<<1|1]?1:0);
    //lc[now]=lc[now<<1],rc[now]=rc[now<<1|1];
    return ans;
}
inline void update_path(int x,int y,int c){
    dta=c;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        L=dfn[top[x]],R=dfn[x];
        update(1,1,n);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);
    L=dfn[x],R=dfn[y];
    update(1,1,n);
    return ;
}
int lst_1,lst_2;//lst_1總是你當前正在查詢的鏈的上一條鏈的最左邊顏色 
inline void query_path(int x,int y){
    int ans=0;
    lst_1=lst_2=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
           {swap(x,y),swap(lst_1,lst_2);}//非常高明的一個trick,不用刻意查詢鏈top父親的顏色 
        L=dfn[top[x]],R=dfn[x]; 
        ans+=query(1,1,n);
        if(lst_1==chain_rc)ans--;
        lst_1=chain_lc;
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]<dfn[y])
        {swap(x,y),swap(lst_1,lst_2);}
    L=dfn[y],R=dfn[x];
    ans+=query(1,1,n);
    if(chain_rc==lst_1)ans--;
    if(chain_lc==lst_2)ans--;
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}
int main(){
    int x,y,z;
    read(n),read(m);
    for(ri i=1;i<=n;i++)read(col[i]);
    for(ri i=1;i<n;i++){
        read(x),read(y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
    }
    dep[1]=1,fa[1]=0;
    dfs_1(1);
    dfs_2(1,1);
    build(1,1,n);
    char opt[5];
    while(m--){
        scanf("%s",opt);
        if(opt[0]==‘C‘){
            read(x),read(y),read(z);
            update_path(x,y,z);
        }
        else{
            read(x),read(y);
            query_path(x,y);
        }
    }
    return 0;
}
 

luogu題解P2486[SDOI2011]染色--樹鏈剖分+trick