clu 簡單 continue 先來 運算符 opera 整數 node 最短路問題

問題描述

聖誕節快到了，蒜頭君準備做一棵大聖誕樹。
這棵樹被表示成一組被編號的結點和一些邊的集合，樹的結點從 1 到 n 編號，樹的根永遠是 1。每個結點都有一個自身特有的數值，稱為它的權重，各個結點的權重可能不同。對於一棵做完的樹來說，每條邊都有一個價值 v_e，若設這條邊 e 連接結點 i 和結點 j，且 i 為 j的父結點（根是最老的祖先），則該邊的價值v_e=s_j*w_e,s_j表示結點 j 的所有子孫及它自己的權重之和，w_e表示邊 e 的權值。
現在蒜頭君想造一棵樹，他有 m 條邊可以選擇，使得樹上所有邊的總價值最小，並且所有的點都在樹上，因為蒜頭君喜歡大樹。

輸入格式

第一行輸入兩個整數 n 和 m(0≤n,m≤50,000），表示結點總數和可供選擇的邊數。

接下來輸入一行，輸入 n 個整數，依次表示每個結點的權重。
接下來輸入 m 行，每行輸入 3 個正整數a,b,c（1≤a,b,≤n,1≤c≤10,000），表示結點 a 和結點 b 之間有一條權值為 c 的邊可供造樹選擇。

輸出格式

輸出一行，如果構造不出這樣的樹，請輸出No Answer，否則輸出一個整數，表示造樹的最小價值。

樣例輸入

4 4
10 20 30 40
1 2 3
2 3 2
1 3 5
2 4 1

樣例輸出

370

---

其實這裏就牽扯到最短路的一類問題，這類問題看似是生成樹問題但其實是最短路問題，原因就在於邊權的定義方式。先來想一種簡單的情況，點的邊權為1，或者說點沒有邊權，對於<i,j>（i是j的父親），v_e

=cnt_j*w_e(cnt是j所在子樹的結點個數），我們可以用單源最短路算法求出所有結點到樹根的最短路，所有結點最短路之和就是答案。為什麽呢？題目要求構造一棵樹，那麽考慮從樹根分別走到各個結點的路徑長度之和，則<i,j>的貢獻就是cnt_j*w_e，因為每要走到j的子樹中的一個點就要經過一次<i,j>，而這剛好是邊權的定義。那麽如何最小化整棵樹的邊權之和呢？其實就是最小化樹根到每個結點的路徑長度之和，如果樹根確定，只需以樹根為源點，跑一遍單源最短路，然後將各個結點的最短路累加起來，如果樹根不確定，就需要對每個樹根都求一遍到其他結點最短路之和，取最小值。回到原題，每個結點都有權值，其實也很好想，每條邊對於答案的貢獻都擴大了，比如某一結點的權值為w，先只考慮到這個點的路徑，都相當於由原來只經過一次變為經過w次，也就是說，可以把權值為w的點看成沒有權值的w個在相同位置的點，在統計答案時，只需將ans+=d[i]修改為ans+=w[i]*d[i]。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cctype>
 3 #include<cstring>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 inline int get_num() { //讀入優化
 7     int num;
 8     char c;
 9     while((c=getchar())==‘\n‘||c==‘ ‘||c==‘\r‘);
10     num=c-‘0‘;
11     while(isdigit(c=getchar())) num=num*10+c-‘0‘;
12     return num;
13 }
14 void put_num(int i) { //輸出優化
15     if(i>9) put_num(i/10);
16     putchar(i%10+‘0‘);
17 }
18 const int maxn=5e4+5,maxm=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
19 int n,m,head[maxn],eid,d[maxn],vis[maxn],nw[maxn];
20 long long ans; //避免溢出
21 struct edge { //鄰接表存儲
22     int v,w,next;
23     edge(int v=0,int w=-1):v(v),w(w) {}
24 } E[maxm];
25 void init() { //記得初始化
26     memset(head,-1,sizeof(head));
27     memset(d,inf,sizeof(d));
28 }
29 void insert(int u,int v,int w) {
30     E[eid]=edge(v,w);
31     E[eid].next=head[u];
32     head[u]=eid++;
33 }
34 struct node { //自定義結構體保存結點
35     int n,s;
36     node(int n,int s):n(n),s(s) {}
37     bool operator < (const node& rhs) const { //重載小於運算符，使得最短路小的先出隊
38         return s>rhs.s;
39     }
40 };
41 priority_queue<node> q;
42 void dijkstra(int s) {
43     d[s]=0;
44     q.push(node(s,0));
45     while(!q.empty()) {
46         int u=q.top().n;
47         q.pop();
48         if(vis[u]) continue;
49         vis[u]=1;
50         for(int p=head[u];p+1;p=E[p].next) {
51             int v=E[p].v;
52             if(d[v]>d[u]+E[p].w) {
53                 d[v]=d[u]+E[p].w;
54                 q.push(node(v,d[v]));
55             }
56         }
57     }
58 }
59 int main() {
60     n=get_num();
61     m=get_num();
62     for(int i=1;i<=n;++i) nw[i]=get_num();
63     init();
64     int a,b,c;
65     for(int i=1;i<=m;++i) {
66         a=get_num();
67         b=get_num();
68         c=get_num();
69         insert(a,b,c); //註意插入的應是雙向邊
70         insert(b,a,c);
71     }
72     dijkstra(1);
73     for(int i=1;i<=n;++i) {
74         if(d[i]==inf) {
75             printf("No Answer");
76             return 0;
77         }
78         ans+=nw[i]*d[i];
79     }
80     printf("%lld",ans);
81     return 0;
82 }

AC代碼

【計蒜客習題】聖誕樹