HNOI2008 明明的煩惱 （purfer序列 + 組合數學）
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這道題題意描述很清楚，不過我自己做的時候確實是一頭霧水……又看了題解，發現要用到一個新知識，叫purfer序列。
我們來簡單說一下什麽是purfer序列。它可以被看作一種樹的表現形式。一棵含有n個節點的樹可以用一個長度為n-2的purfer序列表示，而其中每一個樹都是1～n之間的一個數。
每一棵樹，它都有自己唯一的purfer序列，反過來，對於每一個purfer序列，都能獲得唯一的一棵樹。也就是說，樹與其purfer序列一一對應。
先說一下怎麽求purfer序列。首先找出這棵樹中，節點編號數最小的一個葉子結點（度數為1，只有連向其父親的一條邊），把與它相連的那個節點加入到purfer序列中，並且將這個節點和與之相連的邊從這棵樹中刪除。重復上述過程n-2步，得到一個長度為n-2的purfer序列和一個只有兩個節點的樹。
（還是偷一下大神的圖來描述這件事）
看看下面的例子：
假設有一顆樹有 5 個節點，四條邊依次為：(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)，如下圖所示：
第 1 步，選取具有最小標號的葉子節點 3，將與它相連的點 1 作為第 1 個 Purfer Number，並從樹中刪掉節點 3：
第 2 步，選取最小標號的葉子節點 1，將與其相連的點 2 作為第 2 個 Purfer Number，並從樹中刪掉點 1：
第 3 步，選取最小標號的葉子節點 4，將與其相連的點 2 作為第 3 個 Purfer Number，並從樹中刪掉點 4：
最後，我們得到的 Purfer Sequence 為：1 2 2
既然如此，purfer序列就求好了，那我們再說一下怎麽通過purfer序列求它相對應的樹。
先把所有節點的度數賦為1，再加上其在Purfer序列中出現過的次數，得到每一個節點的度。每次選取編號最小的度數為1的節點（比如當前枚舉到第i個點），將這個節點和Purfer序列中第i個數所對應的點連一條邊，並且把這兩個點的度數-1。最後得到兩個度數為1的點，我們再把他們連邊，加入到樹中。這樣就成功的通過purfer序列求出一棵樹了。
（我們再偷一次大神的圖並且以上面的例子為例描述一下這個過程）（感謝大神orz）
| 頂點 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
第 1 次執行，選取最小標號度為 1 的點 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 個數 1 連邊：
將 1 和 3 的度分別減一：
| 頂點 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 1 | 3 | 0 | 1 | 1 |
第 2 次執行，選取最小標號度為 1 的點 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 個數 2 連邊：
將 1 和 2 的度分別減一：
| 頂點 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
第 3 次執行，將最小標號度為 1 的點 4 和 Purfer Sequence 第 3 個數 2 連邊：
將 2 和 4 的度分別減一：
| 頂點 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 度 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
最後，還剩下兩個點 2 和 5 的度為 1，連邊：
這樣我們就知道，purfer序列必然與樹是一一對應的。
而且我們還知道了一條性質，一個點在purfer序列中出現的次數等於其度數-1.
那我們來看一下這道題。
首先考慮無解的情況，這個很好判斷，如果任意一個點的度數是0或者大於n-1那麽就無解，否則有解。
之後再看一般的情況。我們假設一共有m個節點是有度數限制的，剩下n-m個節點沒有度數限制。那麽sum = sigma 1～m（d[i] - 1）
也就是說，這些點占據了purfer序列中sum個位置（一共有n-2個位置），所以這次選擇的種類是C（n-2，sum）
之後對於這個長度為sum的序列，我們考慮一下，第一個位置可以填入d[1]-1個數，選擇的方案為C（sum，d[1]-1）,那麽在第二個位置可以填d[2]-1個數，選擇的方案就是C（sum-（d[1]-1）,d[2]-1）。
這樣推下去，可以得到總的排列數是：（偷一下圖吧(^_^)）
之後，因為剩下的n-2-sum個位置，每個沒有度數限制，所以可以隨便填，那麽就還有m^(n-2-sum)種情況。把兩者相乘即為答案。
不過寫高精度是不可能的。
我們可以對每個元素都進行質因數分解，開個桶記錄一下每個數的出現次數，最後把他們乘起來就好。可以先行約去分子分母中相同的數。
不過最後一波把所有數乘起來還是要高精的……不過反正是高精乘低精，比較好寫。
寫題的時候還有個小插曲……質因數分解的時候，非常智障的寫成了while(p)，結果導致出現了floating point exception ：8這麽個錯誤（好像在Windows下是RE）
不管怎麽說，以後要註意啊。
上一下代碼。（這題其實很神奇因為不需要求puffer序列）
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream> #include<cmath> #include<queue> #include<set> #define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++) #define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--) #define enter putchar(‘\n‘) using namespace std; const int M = 10005; int n,len,a,sum,k,tot; int t[10001],ans[M+1],prime[M+1]; bool np[M]; int read() { int ans = 0,op = 1; char ch = getchar(); while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) { if(ch == ‘-‘) op = -1; ch = getchar(); } while(ch >=‘0‘ && ch <= ‘9‘) { ans *= 10; ans += ch - ‘0‘; ch = getchar(); } return ans * op; } void euler() { rep(i,2,n) { if(!np[i]) prime[++tot] = i; for(int j = 1;i * prime[j] <= n;j++) { np[prime[j] * i] = 1; if(!(i % prime[j])) break; } } } void C(int a,int b) { rep(i,b+1,a) { int p = i,d = 1; while(p > 1) { while (!(p % prime[d])) ans[d]++,p /= prime[d]; d++; } } rep(i,1,a-b) { int p = i,d = 1; while(p > 1) { while (!(p % prime[d])) ans[d]--,p /= prime[d]; d++; } } } void calc() { int d = 1; while(sum > 1) { while (!(sum % prime[d])) ans[d] += len,sum /= prime[d]; d++; } } int main() { n = read(); euler(); len = n-2; rep(i,1,n) { a = read(); if(!a || a >= n) { printf("0"); return 0; } if(a == -1) { sum++; continue; } a--,C(len,a),len -= a; } if(len) calc(); t[1] = 1,k = 1; rep(i,1,170) { while(ans[i]) { ans[i]--; rep(j,1,k) t[j] *= prime[i]; rep(j,1,k) if(t[j] >= 10) t[j+1] += t[j]/10,t[j] %= 10; while(t[k+1]) k++,t[k+1] += t[k] / 10,t[k] %= 10; } } per(i,k,1) printf("%d",t[i]); enter; return 0; }
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