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洛谷P4099
BZOJ3167

Solution

定義狀態： $f[u][i]$

表示 $u$ 的子樹內所有的點進行排列， $u$ 排在位置 $i$

i 的方案數。
考慮按照樹形揹包的方式轉移，設 $f'[u]$

為列舉到 $u$ 的子節點 $v$ 之前的 DP 陣列。
如何合併 $f'[u]$ 和 $f[v]$ 呢？
先考慮 $u$ 必須排在 $v$ 後面的情況：
先列舉 $i$ 和 $j$ ，考慮如何從 $f'[u][i]$ 和 $f[v][]$ 合併到 $f[u][i+j]$ 。
（上面的 $i$ 表示列舉到 $u$ 的子節點 $v$ 之前子樹中 $u$ 的排名， $j$ 表示 $v$ 的子樹內排名在 $u$ 前面的點數）。
而如果 $u$ 必須排在 $v$ 的後面，這就要求了能參與轉移的 $f[v][k]$ 必須滿足 $k\le j$ 。
設 $u$ 的子節點 $v$ 之前子樹大小為 $s'_u$ ， $v$ 的子樹大小為 $s_v$ ，如何求把 $f'[u][i]$ 和 $f[v][k]$ （ $k\le j$ ）合併起來的方案數呢？
這等價於把兩個長度分別為 $s'_u$ 和 $s_v$ 的序列合併成一個序列，使得新序列任意兩個相同元素在原序列中的相對位置不變，並且對於 $x$ （ $x$ 為新序列中第 $i$ 個來自序列 $s'_u$ 的元素），必須滿足 $1$ 到 $x$ 中恰好有 $j$ 個元素來自序列 $s_v$ 。
這又等價於把 $s_v$ 個元素切割成 $s'_u+1$ 塊（塊內可以為空），滿足前 $i$ 塊裡恰好有 $j$ 個元素。
根據組合數學的知識得到這樣的方案數為：
$C_{i+j-1}^{i-1}\times C_{s'_u-i+s_v-j}^{s'_u-i}$
所以轉移：
$f[u][i+j]+=C_{i+j-1}^{i-1}\times C_{s'_u-i+s_v-j}^{s'_u-i}\times f'[u][i]\times \sum_{k\le j}f[v][k]$
$u$ 排在 $v$ 之前時：
$f[u][i+j]+=C_{i+j-1}^{i-1}\times C_{s'_u-i+s_v-j}^{s'_u-i}\times f'[u][i]\times \sum_{k\ge j}f[v][k]$