【轉載】弧長法（Riks Method）的基本原理
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弧長法（Riks method）是目前結構非線性分析中數值計算最穩定、計算效率最高且最可靠的叠代控制方法之一，它有效地分析結構非線性前後屈曲及屈曲路徑跟蹤使其享譽"結構界"。大多數商業有限元軟件(如ABAQUS、ANSYS等)也都將其納入計算模塊，作為一名工科生，機械式地"Step by Step"點擊這些商業軟件對話框的時候需"知其然，知其所以然"，否則必將"Rubbish in，Rubbish out"。
圖1 弧長法叠代求解過程
圖1 所示為弧長法的叠代求解過程，下標
個荷載步，上標
表示第個荷載步下的第次叠代，顯然，若荷載增量
，則叠代路徑為一條平行於
軸的直線，即為著名的牛頓—拉夫遜法。
設第
個荷載步收斂於
，那麽對於第個荷載步來說，需要進行次叠代才能達到新的收斂點
。外部參照力
，在ABAQUS需要用戶以外荷載的形式輸入，因此，作用在結構上的真實力大小為
。由於牛頓—拉夫遜法在叠代過程中，以荷載控制（或位移控制）時，荷載增量步
（或位移增量步）為常數，它無法越過極值點得到完整的荷載—位移曲線，事實上，也只有變化的荷載增量步才能使求解過程越過極值點。從圖1中可以看出，弧長法的荷載增量步是變化的，可以自動控制荷載，但這又使原方程組增加了一個多余的未知量，因此需要額外補充一個控制方程，即：
（1）
該控制方程說明，其叠代路徑是以上一個荷載步收斂點為圓心半徑為
的圓弧，所以稱為弧長法。通常用戶需指定初始弧長半徑
或固定的弧長半徑
，當設定了初始弧長半徑時，根據收斂速率，一般按式（2）計算，其中
為荷載步期望收斂叠代次數，一般取6, 
為上一荷載步的叠代次數，大於10時取10。
（2）
1. 當
時，根據上一個荷載步收斂結束時的構形，得到用於第個荷載步收斂計算的切線剛度矩陣
，即圖1中的藍色平行線的斜率。通過式（2）可得相應的切線位移。
（3）
（4）
（5）
很容易由式（5）求得，但不能確定其符號，而符號按下式（6）確定：
（6）
2. 當
時，為了簡化
的求解過程，可以切平面法求解，即用垂直於切線的向量代替圓弧，即：
需要補充的關系式為：
最後需要說明的是，假若考慮材料塑性行為，則每個叠代步的切線剛度矩陣應以當前叠代步的構形為準，即圖1中的藍色切線不再平行。
弧長法(Riks method)通用求解程序
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算例1. 如圖1所示的平面桿系結構，頂點受到豎直向下的力P作用，用本程序（Riks method）進行計算，並將計算結果與精確解進行比較，如圖2所示，通過對比可以說明本程序是正確的。
圖1 計算簡圖
圖2 跨中節點荷載—位移曲線對比
算例2：圖3是經典的Lee‘s frame簡圖，一個在端部正交的鉸接約束平面剛架，在距離正交點一定距離處有集中力F作用。之所以稱其為經典算例是因為它的荷載位移曲線同時集中了跳躍(snap-through )和回彈(snap-back)現象，傳統的求解策略根本無法對其進行荷載—位移路徑跟蹤，在此，弧長法展現了很大優勢，圖4是運用本程序得到剛架的變形動畫，圖5是加載點的荷載位移曲線，並將其與ABAQUS計算結果進行對比，通過對比表明該程序的是正確的。
圖3 Lee‘s Frame 簡圖
圖4 Lee‘s frame變形動畫
圖2 加載節點荷載—位移曲線對比
程序核心部分：
讀取數據文件（節點、單元、約束、截面屬性、參考力、控制弧長、最大控制參量）
while 控制參量（如位移、最大荷載因子） < 最大控制參量
計算當前切線剛度矩陣 K_Global
計算參考位移 X_Ref= 參考力\K_Global
計算初始荷載因子 lamda0=Arclength/sqrt(1+X_Ref‘*X_Ref);
判定初始荷載因子方向 +/- lamda0
更新節點坐標，更新外力
計算當前節點反力
計算節點不平衡力Val
while norm(Val)>1e-6
計算不平衡力產生的位移X_Val
計算荷載因子修正參數delta=X_Val‘*X_Ref/(1+X_Ref‘*X_Ref);
修正荷載因子lamda1=lamda0-delta;
更新初始荷載因子lamda0=lamda1;
更新節點坐標，更新外力
計算當前節點反力
計算節點不平衡力Val
end
end
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