引文：如果要對比較大的整數分解，顯然之前所學的篩選法和是試除法都將不再適用。所以我們需要學習速度更快的Pollard_Rho算法。

算法原理：

生成兩個整數a和b，計算p=gcd(a-b, n)，知道p不為1或a,b出現循環為止，若p=n，則n為質數，否則p為n的一個約數。

對於如何生成這兩個數，選取一個小的隨機數x₁，叠代生成

通過這個方式，我們只需要知道x₁和c就可以生成一系列數值，c可以取任意給定值，一般取c=1。

若序列出現循環，則退出。

計算p=gcd(x_i-1-x_i, n)， 若p=1，返回上一步，直到p>1為止；若p=n，則n為素數，否則p為一個約數並遞歸分解p和n/p。

例題：

代碼：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <fstream>
  4 #include <vector>
  5 #include <queue>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <map>
  8 #include <cmath>
  9 
 10 using namespace std;
 11 typedef long
 
 long LL;
 12 const int Test[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
 13 const int Times = 8;
 14 vector<LL> Factor;
 15 
 16 LL gcd(LL a, LL b)
 17 {
 18     return b==0?a:gcd(b, a%b);
 19 }
 20 
 21 LL Multi(LL a, LL b, LL mod)
 22 {
 23     LL ans = 0;
 24     while(b)
 25     {
 26         if(b&1
 
)
 27             ans = (ans + a)%mod;
 28         a = (a+a)%mod;
 29         b>>=1;
 30     }
 31     return ans;
 32 }
 33 
 34 LL Pow(LL a, LL b, LL mod)
 35 {
 36     LL ans = 1;
 37     while(b)
 38     {
 39         if(b&1)
 40         {
 41             ans = Multi(ans, a, mod);
 42         }
 43         b>>=1;
 44         a=Multi(a, a, mod);
 45     }
 46     return ans;
 47 }
 48 
 49 bool Miller_Rabin(LL n)
 50 {
 51     if(n < 2)   return false;
 52     LL s = n-1, t = 0, x, next;
 53     while(!(s&1) )  //根據運算符的優先級必須加括號
 54     {
 55         s>>=1;
 56         t++;
 57     }
 58     for(int i = 0; i < Times; i++)
 59     {
 60         if(n== Test[i]) return true;
 61         x = Pow(Test[i], s, n);
 62         for(int j = 1; j <= t; j++)
 63         {
 64             next = Multi(x, x, n);
 65             if(next == 1 && x != 1 && x != n-1)
 66                 return false;
 67             x = next;
 68         }
 69         if(x != 1)
 70             return false;
 71     }
 72     return true;
 73 }
 74 
 75 LL Pollard_Rho(LL n, int c)
 76 {
 77     LL i = 1, k = 2;
 78     LL x = rand()%(n-1) + 1, y; //保證隨機數在(0,n)內
 79     y = x;
 80     while(1)
 81     {
 82         i++;
 83         x = (Multi(x, x, n) + c)%n;  //繼續生成數
 84         LL p = gcd(x>y?x-y:y-x, n);
 85         if(p!=1 && p!=n)    //因為p>1
 86             return p;
 87         if(y == x)
 88             return n;
 89         if(i == k)
 90         {
 91             y = x;
 92             k<<=1;
 93         }
 94     }
 95 }
 96 
 97 void Find(LL n, int c)
 98 {
 99     if(n == 1)
100         return;
101     if(Miller_Rabin(n))
102     {
103         Factor.push_back(n);
104         return;
105     }
106     LL p = n, k = c;
107     while(p >= n)
108     {
109         p = Pollard_Rho(n, c--);
110     }
111     Find(p, k);
112     Find(n/p, k);
113 }
114 
115 
116 int main()
117 {
118     int T;
119     LL x;
120     cin >>T;
121     while(T--)
122     {
123         Factor.clear();
124         cin >> x;
125         Find(x, 107);   //107足矣
126         if(Factor.size() == 1)
127             printf("Prime\n");
128         else
129         {
130             sort(Factor.begin(), Factor.end());
131             printf("%I64d\n", Factor[0]);
132         }
133     }
134 }

Pollard_Rho 整數分解法【學習筆記】