洛谷 P3807 【模板】盧卡斯定理

題目背景

這是一道模板題。

題目描述

給定n,m,p(1\le n,m,p\le 10^51≤n,m,p≤10?5??)

求 C_{n+m}^{m}\ mod\ pC?n+m?m?? mod p

保證P為prime

C表示組合數。

一個測試點內包含多組數據。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行一個整數T(T\le 10T≤10)，表示數據組數

第二行開始共T行，每行三個數n m p，意義如上

輸出格式：

共T行，每行一個整數表示答案。

輸入輸出樣例

2
1 2 5
2 1 5

3
3

題解：求C（n,m）%p 有O(n^2)的解法，那麽n,m非常大怎麽辦呢？？
盧卡斯定理就是解決組合數取模問題的，其中p必須是質數。
首先看公式....
 


對於Lucas(n/p,m/p,p)我們遞歸求解，當m/p==0時返回1

對於C(n%p,m%p)這怎麽辦呢？a/b%p=a*x%p,其中x為b在模p
意義下的逆元。x=b^(p-2)。
代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 200001
#define LL long long
using namespace std;

LL n,m,p,T;
LL f[maxn];

LL ksm(LL a,LL b,LL p){
    LL ret=1%p;
    while(b){
        
 
if(b&1)ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

LL C(LL n,LL m,LL p){
    if(m>n)return 0;
    return f[n]*ksm(f[m]*f[n-m],p-2,p)%p;
}

LL Lucas(LL n,LL m,LL p){
    if(m==0)return 1;
    return     (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}

int main(){
    scanf("%lld\n
 
",&T);
    while(T--){
      scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
      f[0]=1;
      for(int i=1;i<=p;i++)f[i]=(f[i-1]*i)%p;
      printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,p));
    }

}

【學習筆記】盧卡斯定理