Lucas定理是用來求 Cmnmodp$C_n^{m}modp$ 的值。其中：n$n$, m$m$ 是非負整數，p$p$ 是素數。一般用於 n,m$n,m$ 很大而 p$p$ 很小或 n,m$n,m$ 不大且都大於 p$p$ 的情形。

Lucas定理結論：

• Lucas(n,m,p)=C(nmodp,mmodp,p)∗Lucas(n/p,m/p,p)$Lucas(n,m,p)=C(nmodp,mmodp,p)\ast Lucas(n/p,m/p,p)$

  其中當 m=0$m=0$ 時，Lucas(n,m,p)=1$Lucas(n,m,p)=1$。

  C(n,m,p)====Cmnmodpm!n!∗(n−m)!modpm!(n−m)!∗(n!)−1modpm!(

  n−m)!∗(n!)p−2modp$\begin{array}{rcl}C(n,m,p)& =& C_n^{m}modp\\ =& \frac{m!}{n!\ast (n-m)!}modp\\ =& \frac{m!}{(n-m)!}\ast (n!{)}^{-1}modp\\ =& \frac{m!}{(n-m)!}\ast (n!{)}^{p-2}modp\end{array}$

  其中第三步中 (n!)−1=(n!)p−2$(n!{)}^{-1}=(n!{)}^{p-2}$ 是應用了 p$p$ 是素數這一條件，不明白的可以去看看乘法逆元。

實現的時候還要考慮到組合數的幾個性質：

• 當n<m$n<m$ 時 Cmn=0$C_n^m=0$
• Cmn=Cn−mn$C_n^m=C_n^{n-m}$

Code$Code$

LL FastPower(LL a, LL p, LL k) {
    LL ans = 1;
    while
 
 (p) {
        if (p & 1)  ans = (ans * a) % k;
        a = (a * a) % k;
        p >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL C(int n, int m, int p) {
    if (n < m) return 0;
    if (m > n - m) m = n - m;
    LL s1 = 1, s2 = 1;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        s1 = s1 * (n - i) % p;
        s2 = s2 * (i + 1
 
) % p;
    }
    return s1 * FastPower(s2, p - 2, p) % p;
}
LL Lucas(int n, int m, int p) {
    if (m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}