1. Introduction

在傳統的LSH、SSH、PCA-ITQ等哈希算法中，本質都是利用超平面對數據點進行劃分，但是在D維空間中，至少需要D+1個超平面才能形成一個封閉、緊湊的區域。而球哈希方法利用超球面（hypersphere）對數據進行劃分，在任何維度下，只需要1個超球面便可形成一個封閉的區域。利用球哈希方法，每個區域內樣本的最大距離的平均值會更小，說明各個區域的樣本是更緊湊的。這樣更符合鄰近的含義，更適合在進行相似搜索時使用。

2. Binary Code Embedding Function

球哈希的函數族$H(x) = (h_1(x), h_2(x), h_3(x), ... h_L(x))$。L為哈希編碼的位數，其中每個哈希函數事實上就是一個超球面，每個超球面將空間劃分為球內和球外兩部分。哈希函數如下：

其中，$p_k$和$t_k$分別為球心和半徑，$d(p_k, x)$表示點x與球心$p_k?$之間的歐式距離。如果點到球心的距離大於半徑，則編碼為-1，否則編碼為1。

為了比較基於超平面的區域和基於超球面的區域，不同緊湊性對結果的影響，論文作了如下兩個實驗：

左圖中的Y軸表示在相同的編碼下的哈希空間裏，數據點中最大距離的平均值，X軸為不同的碼長。實驗結果曲線表明了基於超球面形成的區域更加緊湊，利用較少的碼長便可對原始數據進行很好的編碼；右圖的Y軸為在相同的編碼下，所對應的原始空間中數據點的最大距離，X軸為兩個數據點的編碼中，相同比特位均為+1的個數。實驗結果除了超球面區域緊湊性的驗證之外，還表明了如果兩個數據點具有越多的相同特征，那麽這兩個數據點距離越近（越相似）。

對於右圖的實驗結果，個人直觀的理解便是假設有類別A具有a、b、c三個特征，如果數據$x_1$和$x_2$均具有這三個特征（對應比特位均為+1），那麽我們大致可以判定$x_1$和$x_2$均屬於類別A；但是如果$x_1$和$x_2$均不具有這三個特征（對應比特位均為-1），那麽我們只能確定$x_1$和$x_2$均不屬於類別A，但是無法得出$x_1$和$x_2$是否屬於同類的結論。

3. Distance between Binary Codes

傳統的哈希方法使用漢明距離作為衡量數據點中距離的方法，但是漢明距離無法對區域緊湊性進行很好的表征。因此，在球哈希方法中，使用了新的距離度量方法Shpherical Hamming distance，SHD

其中，分子為兩個編碼中對應比特位不同的個數，分母則為對應比特位均為+1的個數。顯然，當兩個數據對應比特位均為+1的個數越多時，其對應的SHD距離越小，反之則越大，很好得體現了利用了基於超球面的區域緊湊型的特點。

4. Independence between Hashing Functions

球哈希方法中同樣也對哈希函數的平衡性和獨立性進行了限制。

平衡性：

獨立性：

具體的圖示如下：

5. Iterative Optimization

在初始化時，從原始數據集中生成一個m大小的子集S，在子集S中隨機選擇C個數據點作為初始球心，初始球心的選擇應該能大致反應數據集在空間中的分布情況，以減少後邊的優化開銷。在球心選擇後，根據平衡性和獨立性的限制便可得到半徑。之後，球哈希函數訓練可分為兩個階段。

第一階段：根據平衡性的限制，調整球心，使得$O_{i,j}$的值盡可能接近$4/m$。在此過程中，定義了兩個球心的作用力如下所示：

為了滿足平衡性的條件，當兩個球的重合過多時，應產生排斥力將其分開；當兩個球距離過遠時，應產生吸引力使得互相靠近。而上述公式的原理便是通過利用$(O_{i,j} - m/4)$和$(p_i - p_j)$的符號正負關系實現排斥力和吸引力。而分母中的$4/m$是為了保證力的大小不受數據集大小m的影響。

第二階段：當球心通過作用力更新位置完畢後，我們通過獨立性的限制來調整半徑$t_k$的大小。

在第一階段中，理想情況是$O_{i,j}$的均值和標準差分別為$m/4$和0，但是這樣容易產生過擬合，因此我們對均值和標準差設定了兩個閾值——10%和15%，在這兩個閾值下，算法具有最優的表現。

綜述，整個球哈希算法的過程如下所示：

球哈希（Spherical Hashing）