前天acm實驗課，老師教了幾種排序，抓的一套題上有一個哈夫曼樹的題，正好之前離散數學也講過哈夫曼樹，這裏我就結合課本，寫一篇關於哈夫曼樹的博客。

哈夫曼樹的介紹

Huffman Tree，中文名是哈夫曼樹或霍夫曼樹，它是最優二叉樹。

定義：給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若樹的帶權路徑長度達到最小，則這棵樹被稱為哈夫曼樹。 這個定義裏面涉及到了幾個陌生的概念，下面就是一顆哈夫曼樹，我們來看圖解答。

(01) 路徑和路徑長度

定義：在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數目稱為路徑長度。若規定根結點的層數為1，則從根結點到第L層結點的路徑長度為L-1。 例子

：100和80的路徑長度是1，50和30的路徑長度是2，20和10的路徑長度是3。

(02) 結點的權及帶權路徑長度

定義：若將樹中結點賦給一個有著某種含義的數值，則這個數值稱為該結點的權。結點的帶權路徑長度為：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。 例子：節點20的路徑長度是3，它的帶權路徑長度= 路徑長度 * 權 = 3 * 20 = 60。

(03) 樹的帶權路徑長度

定義：樹的帶權路徑長度規定為所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記為WPL。 例子：示例中，樹的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。

比較下面兩棵樹

上面的兩棵樹都是以{10, 20, 50, 100}為葉子節點的樹。

左邊的樹WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360 右邊的樹WPL=350

左邊的樹WPL > 右邊的樹的WPL。你也可以計算除上面兩種示例之外的情況，但實際上右邊的樹就是{10,20,50,100}對應的哈夫曼樹。至此，應該堆哈夫曼樹的概念有了一定的了解了，下面看看如何去構造一棵哈夫曼樹。

哈夫曼樹的圖文解析

假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設為 w₁、w₂、…、w_n，哈夫曼樹的構造規則為：

1. 將w₁、w₂、…，w_n看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結點)； 2

. 在森林中選出根結點的權值最小的兩棵樹進行合並，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值為其左、右子樹根結點權值之和； 3. 從森林中刪除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林； 4. 重復(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的哈夫曼樹。

以{5,6,7,8,15}為例，來構造一棵哈夫曼樹。

第1步：創建森林，森林包括5棵樹，這5棵樹的權值分別是5,6,7,8,15。 第2步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(5和6)來進行合並，將它們作為一顆新樹的左右孩子(誰左誰右無關緊要，這裏，我們選擇較小的作為左孩子)，並且新樹的權值是左右孩子的權值之和。即，新樹的權值是11。 然後，將"樹5"和"樹6"從森林中刪除，並將新的樹(樹11)添加到森林中。 第3步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(7和8)來進行合並。得到的新樹的權值是15。 然後，將"樹7"和"樹8"從森林中刪除，並將新的樹(樹15)添加到森林中。 第4步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(11和15)來進行合並。得到的新樹的權值是26。 然後，將"樹11"和"樹15"從森林中刪除，並將新的樹(樹26)添加到森林中。 第5步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(15和26)來進行合並。得到的新樹的權值是41。 然後，將"樹15"和"樹26"從森林中刪除，並將新的樹(樹41)添加到森林中。 此時，森林中只有一棵樹(樹41)。這棵樹就是我們需要的哈夫曼樹！

哈夫曼樹+哈夫曼編碼