Description

對於一個01字符串，如果將這個字符串0和1取反後，再將整個串反過來和原串一樣，就稱作“反對稱”字符串。比如00001111和010101就是反對稱的，1001就不是。
現在給出一個長度為N的01字符串，求它有多少個子串是反對稱的。

Input

第一行一個正整數N (N <= 500,000)。第二行一個長度為N的01字符串。

Output

一個正整數，表示反對稱子串的個數。

Sample Input

Sample Output

HINT

Source

鳴謝 JZP

題意：

求一個01串中“反回文”子串的個數。“反回文”的定義為str[i]=!str[N-i+1]。

題解：

這道題枚舉回文子串中間位置+二分答案即可AC，但實際上存在一種名為Manacher的線性算法。

我記得我個人解決回文子串問題的復雜度從O（N^3）到O（N^2）再到O（NlogN）不斷進步，這次終於達到理論上的下限了……

（以下圖片全部轉自CSDN某dalao，侵刪）

一般的回文串算法都是枚舉回文串的中心位置然後分奇偶討論。但Manacher算法提供了一種巧妙的方法使得可以將奇偶回文串在一起處理。

具體方法是在原串每兩個字符間插入一個分隔符，再在頭尾分別插入一個分隔符，分隔符要求不在原串中出現。如下：

然後我們考慮設len[i]表示在新串中以i為中心的回文串向右延伸的長度。如下：

接著歸納求解，假設我們已經求出了len[1~i-1]的值，現在要求len[i]，記其中向右延伸到的位置最遠的len[Po]為P（與擴展kmp神似），有如下幾種情況：

若i<=P，那麽找到i相對於po的對稱位置j，如果len[j]<=P-i，如圖：

此時由對稱性可得len[i]=len[j]。

如果len[j]>P-i，如圖：

此時len[i]至少為P-i，由於i右邊的字符沒有被匹配過，我們需要依次匹配並更新Po與P。

若i>P，如圖：

此時之前處理的信息對i沒有什麽用，我們仍然需要依次匹配並更新。

Manacher算法每次新匹配k個位置，匹配完即退出。每個位置會被計算且僅被計算一次，所以該算法的復雜度是線性的。

這道題即是Manacher算法的模板，只需要把匹配運算修改一下即可。

代碼：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;
#define MAXN 500005
#define MAXM 500005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long

char tp[MAXN],str[MAXN<<1|1];
ll len[MAXN<<1|1];
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c==‘-‘)
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-‘0‘;
    return x*f;
}

inline void solve(ll N){
    for(ll i=1;i<=N;i++)
        str[(i<<1)-1]=‘#‘,str[i<<1]=tp[i];
    str[N<<1|1]=‘#‘;str[0]=‘!‘;str[(N<<1|1)+1]=‘?‘;
    return;
}
inline bool check(char x,char y){return (x==‘#‘&&y==‘#‘)||(((x-‘0‘)^(y-‘0‘))==1);}
inline ll Manacher(ll N){
    ll pos=0,lag=0,ans=0;
    for(ll i=1;i<=N;i++){
        len[i]=(i<lag)?min(lag-i+1,len[(pos<<1)-i]):0;
        while(check(str[i+len[i]],str[i-len[i]])) len[i]++;
        if(i+len[i]-1>lag) lag=i+len[i]-1,pos=i;
        ans+=len[i]>>1;//cout<<len[i]<<endl;
    }return ans;
}

int main(){
    ll N=read();cin>>tp+1;solve(N);
    printf("%lld\n",Manacher(N<<1|1));
    return 0;
}

【bzoj2084】[Poi2010]Antisymmetry