題目：數論中的文化之美

摘要：數論，又名高等算術，早期稱為算術，直到20世紀初，才開始使用數論的名稱，數論是數學的一個分支，主要研究一類特殊的數的性質，更具體的說，主要是在整數領域內，涉及整數的整除性理論、同餘理論和一元高次方程的整數解理論。以素數和同餘的研究為重心，探尋其相關性質及其應用，我們知道，任何一個整數都可以通過唯一分解定理分解為多個素數的乘積，那麼深入研究素數，並以此為跳板，使得整數的研究更加容易。初等數論主要研究特殊數、素數、同餘式等，在現實生活中應用廣泛，比如對於資訊的加密處理、資訊保安等領域有深遠的影響。數論的研究可以追溯到幾個世紀之前，在此期間，人們對數論的研究從未間歇過，在歷史的長河裡，一位位偉大的數學家投身於數論的研究，使這段文化旅程大放光彩。

關鍵詞：數論 文化 素數 同餘 密碼學

正文：

       “數學不僅揭示真理，也給人極度的美感——如同雕塑般的冷豔與嚴肅，這種美不需要利用人性的弱點，也不需要繪畫或音樂那樣華麗的包裝。它是極其純潔的，就完美型而言只有最偉大的藝術才能與之相比。”

       1902年著名哲學家、數學家寫下這句話，數學的美是純潔的，是完美的，是抽象的。它不像繪畫、音樂一般可以用感官體會，它更傾向於精神領域，給人以更神聖的洗禮。在歷史上，數學與哲學其實是分不開的，古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯從小受到宗教文化的薰陶，在他成年之後，建立了畢達哥拉斯兄弟會，這是一個集宗教、政治、學術為一體的團體，受到當地權勢的贊助，兄弟會日益興盛。兄弟會的成員有著共同的信仰，對數學、數論有著非常深入的研究，但是，畢達哥拉斯兄弟會認為組織內所產出的成果絕不能透露到外界，否則將嚴懲透露者。由於這種制度的存在，兄弟會遭到外界的學術研究者的不滿，後來兄弟會受到民主運動的衝擊，流傳下來的學術成果少之又少。一段數學的繁榮就此結束。

       在數論的研究過程中，還出現了許多數學家，比如被譽為“業餘數學家之王”的費馬，在《算術》一書的空白處留下了一個困惑了世間智者長達358年的謎——費馬大定理，準確的說應該是費馬的一個猜想，因為當時費馬並未給出詳細證明，只留下一句戲劇性的話，“我有一個完美的證明，但這裡空白太小，我寫不下”。之後的358年裡，許多的數學家日夜奮戰，只為還原那一個完美的證明，直到1995年，安德魯·懷爾斯面對世界說道：“我想我就在這裡結束”，為費馬大定理畫上了一個完美的句號。

       曾在數論領域流傳著這樣一句話，“發現新的素數是現在出名最快的方式”，素數有無窮多個，但至今為止，仍沒有人可以給出素數的一般規律。一個數值較小的素數我們可以用整除性檢驗，但一旦涉及的數值較大，這種方法便不可取了，複雜度太高，耗時太長，那麼如何去判斷一個大素數呢？各位數學家發現了許多可靠的方法，應用比較多的有拉賓-米勒測試，還有多種方法應用了整數的階和原根進行素性檢驗。素數之下，又有許多分支，如梅森素數（形如2^p-1的素數），我們現在還不能確定是否存在無窮多個梅森素數，通過GIMPS網站我們可以知道，現在已發現50位梅森素數，最大的梅森素數已達到23249425位數。與梅森素數緊密相關的另一類數——完全數，其真因數之和等於該數，即σ(n)=2n ，由歐幾里得完全數公式可以知道，如果2^p-1是素數（即梅森素數），則2^(p-1)*(2^p-1)是完全數，那麼一個梅森素數對應一個完全數。目前發現的完全數都是偶數，至於是否存在奇完全數仍是一個謎。

       初等數論的研究中，發現了許許多多有趣的數，這些數為廣大數學愛好者增添了無窮的趣味。下面簡要介紹幾種較為常見的特殊數：烏拉姆數，定義數列前兩項為1和2，對於n>2，第n個數當且僅當唯一地寫成兩個不同的烏拉姆數之和，比如3=1+2是烏拉姆數，4=1+3也是烏拉姆數，但5=1+4=2+3則不能稱為烏拉姆數。斐波那契數列，由一群兔子繁殖而發現的一個數列，目前斐波那契數列的研究已經十分深入了。與斐波那契數列相似的是盧卡斯數，盧卡斯數定義Ln=Ln-1+Ln-2，與斐波那契數列不同的是它的前兩項是確定的，為1和3。

       數論的另一大研究方向——同餘。同餘的應用較為廣泛，比如整除性的檢驗、萬年曆、迴圈賽賽程、雜湊函式（雜湊函式）、校驗位、資訊加密等。整除性的檢驗可以通過一條條的規律性質將複雜的整除性簡單化，例如要檢驗n能否被2j整除，只需檢驗n的最後j位數字能否被2j整除，類似的還有5^j、7、11、13等；雜湊函式h(k)≡k(mod m)在計算機儲存方面有很大作用，後續為解決衝突和堵塞問題，又提出雙重雜湊，其中應用了孿生素數；校驗位應用在檢驗資料串的誤差上。

       由同餘而衍生出來的一門學科——密碼學，同樣有著很長的歷史了，從簡單的字元密碼開始，到分組密碼和流密碼，又到後來的指數密碼，無不應用著同餘的理論。舉個最簡單的例子，凱撒密碼——C≡P+k(mod 26)，其中C為密文，P為明文，它的實質就是利用移位變換來加密，但這種密碼僅有26種變換形式（算上不進行變換的情況）。

       初等數論的研究並不止於此，原根的性質及應用、莫比烏斯反演、丟番圖方程、二次互反律、尤拉函式……

       對於數論的研究也從未止步，我們證明了一個個猜想，又繼續發現了一個個猜想，我們在數論的征程中，從未止步，一代又一代的數學家前赴後繼，他們既是為了自己的信仰，也是為了人類的文明，他們在數論中發現了美，創造了一種獨特的文化魅力，這種魅力吸引著後人，推動著後人。

       “我們必須知道，我們將會知道”。

參考文獻：

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