1.不同的二叉搜尋樹

給定一個整數 n，求以 1 … n 為節點組成的二叉搜尋樹有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜尋樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：動態規劃及二叉搜尋樹性質問題

1. 二叉搜尋樹性質：節點i左邊的節點值 $x$小於或等於節點 $i$的值，即 $x$
   < = i x<=i , 節點 $i$右邊的節點值 $y$
   y 大於節點i的值，即 $i<y$;
2. 動態規劃：設有2個結點, 則2個結點時二叉搜尋樹情況為: dp[2]=dp[0]*dp[1]+dp[1]*dp[0]; 這裡dp[0]*dp[1]指在根節點左邊有0個節點，在右邊有1個節點; dp[1]*dp[0]指的是右邊有一個節點，左邊有0個節點。不同形態的二叉查詢樹的個數，就是根節點的 左子樹的個數乘以右子樹的個數，就是左邊的所有情況乘以右邊的所有情況，知道這個規律就好做啦。
3. 動態規劃轉移方程：dp[i]=dp[i]+dp[j]*dp[i-j-1] (其中i代表節點個數，j代表在i節點左邊共有j個節點)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(n==0) return 0;
        if(n==1) return 1;
        vector<int> result(n+1,0);
        result[0]=1;
        result[1]=1;
        for(int i=2;i<n+1;i++){  //表示根節點
            for(int j=0;j<n;j++){  //表示根節點左邊的節點個數
                result[i] += result[j]*result[i-j-1];
            }
        }
        return result[n];
    }
};

1.不同的二叉搜尋樹II

給定一個整數 n，生成所有由 1 … n 為節點所組成的二叉搜尋樹。

示例:

輸入: 3
輸出:
[
[1,null,3,2],
[3,2,null,1],
[3,1,null,null,2],
[2,1,3],
[1,null,2,null,3]
]
解釋:
以上的輸出對應以下 5 種不同結構的二叉搜尋樹：

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：這屬於建樹部分，一般是用遞迴。首先new一個空間，用於存放所有可能的樹，至於為什麼要用指標，參考網上大佬的。注意這裡的邊界條件是start>end的時候停止，並返回NULL。然後至於用倆個迴圈的原因是：假設n=4, 且i=3, 其實對於左子樹而言，有倆種情況，對於右子樹而言，只有一種情況，所以需要遍歷得到所有情況：

              3                3 
            /  \             /    \
          2     4           1      4
        /                    \
      1                        2

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {
        if(n==0) return {};
        return *getSubTree(1,n);
    }
    vector<TreeNode*>* getSubTree(int start,int end){
       vector<TreeNode*> *SubTree=new vector<TreeNode*>();
       if(start>end){
           SubTree->push_back(NULL);
       }
       else{
           for(int i=start;i<=end;i++){
               vector<TreeNode*> *leftSubTree=getSubTree(start,i-1);
               vector<TreeNode*> *rightSubTree=getSubTree(i+1,end);
               for(int j=0;j<(*leftSubTree).size();j++){
                    for(int k=0;k<(*rightSubTree).size();k++){
                    TreeNode* Node=new TreeNode(i);
                    Node->left=(*leftSubTree)[j];
                    Node->right=(*rightSubTree)[k];
                    SubTree->push_back(Node);
               }
           }
         }
       }
        return SubTree;
    }
};```