本文也是根據吳恩達機器學習課程作業的答案。

迴歸：預測值是連續的； 分類：預測值是離散的；

建模誤差：預測值與實際值之間的差距；

目標：選擇模型引數，使得建模誤差的平方和能夠最小，即代價函式最小；

代價函式：選擇平方誤差函式，是解決迴歸問題最常用的手段；代價函式是幫助我們選擇最優的引數的方法，即設定標準為引數使得建模誤差最小；

梯度下降：用來求函式最小值的演算法，它背後的思想是，開始時隨機選擇一個引數的組合，計算代價函式，然後尋找下一個能讓代價函式值下降最多的引數組合。持續知道得到一個區域性最小值。實現梯度下降演算法的微妙之處是，同時更新引數；

梯度下降的直觀理解：微分部分是那個點的斜率，右邊部分的曲線的斜率是不斷減小的，區域性最優點的斜率為0（假設代價函式為拋物線）；

批量梯度下降：在梯度下降的每一步中，我們都用到了所有的訓練樣本；

在多變數線性迴歸中

為了將特徵向量化，引入x0=1，故該式實際變數為n。特徵矩陣X的維度是m*(n+1)

特徵縮放：保證特徵都具有相似的尺度（-1,1），將幫助梯度下降演算法更快的收斂。

正規方程：求解正規方程找出使得代價函式最小的引數。

線性迴歸程式碼實現最主要的部分就是代價函式的計算和梯度下降(對損失函式進行極小化)，即對以下兩個公式的實現。在程式碼最後面專門定義了函式

import matplotlib.pyplot as plt #繪圖框架
import numpy as np
from matplotlib.colors import LogNorm #將顏色規範化在log級別的0-1內
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d, Axes3D
from computeCost import *
from gradientDescent import *
from plotData import * #有一個plotData.py的檔案需要把程式碼補齊

# ===================== Part 1: Plotting =====================視覺化為了理解資料
print('Plotting Data...')
data = np.loadtxt('ex1data1.txt', delimiter=',', usecols=(0, 1)) #讀取檔案，分隔值的字元，確定讀取的列
X = data[:, 0] #冒號左邊是行範圍，右邊列範圍。取二維陣列中第一列的所有資料
y = data[:, 1] #取二維陣列中第二列的所有資料
m = y.size

plt.ion() #開啟互動模式，plt.plot()直接出影象，不需要show()。沒有ioff()關閉的話，影象一閃而過，不會常留
plt.figure(0)
plot_data(X, y) #在plotdata.py中定義了一個plot_data的函式

input('Program paused. Press ENTER to continue')

# ===================== Part 2: Gradient descent =====================
print('Running Gradient Descent...')

X = np.c_[np.ones(m), X]  # Add a column of ones to X。np_c按行連線兩個矩陣（矩陣左右相加），行數相等
theta = np.zeros(2)  # initialize fitting parameters。 theta = array([0, 0])

# Some gradient descent settings 迭代次數，學習速率（步長）
iterations = 1500 
alpha = 0.01

# Compute and display initial cost
print('Initial cost : ' + str(compute_cost(X, y, theta)) + ' (This value should be about 32.07)') #需要對computerCost.py補全，代價函式=1/2m * sum(f(x)-y)**2)，pdf第五頁的公式

theta, J_history = gradient_descent(X, y, theta, alpha, iterations) #在gradientDescent.py處對程式碼補全

print('Theta found by gradient descent: ' + str(theta.reshape(2)))

# Plot the linear fit
plt.figure(0)
line1, = plt.plot(X[:, 1], np.dot(X, theta), label='Linear Regression')
plt.legend(handles=[line1])

input('Program paused. Press ENTER to continue')

# Predict values for population sizes of 35,000 and 70,000
predict1 = np.dot(np.array([1, 3.5]), theta)
print('For population = 35,000, we predict a profit of {:0.3f} (This value should be about 4519.77)'.format(predict1*10000))
predict2 = np.dot(np.array([1, 7]), theta)
print('For population = 70,000, we predict a profit of {:0.3f} (This value should be about 45342.45)'.format(predict2*10000))

input('Program paused. Press ENTER to continue')

# ===================== Part 3: Visualizing J(theta0, theta1) =====================
print('Visualizing J(theta0, theta1) ...')

theta0_vals = np.linspace(-10, 10, 100) #建立等差數列。起始，終止，樣本數
theta1_vals = np.linspace(-1, 4, 100)

xs, ys = np.meshgrid(theta0_vals, theta1_vals) #生成一個座標矩陣
J_vals = np.zeros(xs.shape)

# Fill out J_vals
for i in range(0, theta0_vals.size):
    for j in range(0, theta1_vals.size):
        t = np.array([theta0_vals[i], theta1_vals[j]])
        J_vals[i][j] = compute_cost(X, y, t)

J_vals = np.transpose(J_vals)

fig1 = plt.figure(1)
ax = fig1.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, J_vals)
plt.xlabel(r'$\theta_0$')
plt.ylabel(r'$\theta_1$')

plt.figure(2)
lvls = np.logspace(-2, 3, 20)
plt.contour(xs, ys, J_vals, levels=lvls, norm=LogNorm())
plt.plot(theta[0], theta[1], c='r', marker="x")

input('ex1 Finished. Press ENTER to exit')

def plot_data(x, y):
    plt.scatter(x, y, c = 'r', marker = 'o')
    plt.xlabel('population')
    plt.ylabel('revenue')
    plt.show()

def compute_cost(X, y, theta):
    # Initialize some useful values
    m = y.size
    cost = 0 
    cost = np.sum((np.dot(X, theta) - y)**2) / (2*m)
    return cost

def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):
    # Initialize some useful values
    m = y.size
    J_history = np.zeros(num_iters)

    for i in range(0, num_iters):      
        error = np.dot(X, theta).flatten() - y
        theta -= (alpha/m)*np.sum(X*error[:, np.newaxis], 0)
        
        J_history[i] = compute_cost(X, y, theta)

    return theta, J_history


def gradient_descent_multi(X, y, theta, alpha, num_iters):
    # Initialize some useful values
    m = y.size
    J_history = np.zeros(num_iters)

    for i in range(0, num_iters):
        error = np.dot(X, theta).flatten() - y
        theta -= (alpha / m) * np.sum(X * error[:, np.newaxis], 0)
        J_history[i] = compute_cost(X, y, theta)

    return theta, J_history