線性迴歸

即線性擬合，給定N個樣本資料（x1,y1）,(x2,y2)....(xN,yN)其中xi為輸入向量，yi表示目標值，即想要預測的值。採用曲線擬合方式，找到最佳的函式曲線來逼近原始資料。通過使得代價函式最小來決定函式引數值。
採用斯坦福大學公開課的例子：假如一套房子的價格只考慮由房屋面積(Living area)與臥室數目(bedrooms)兩個因素決定，現在拿到手有m個樣本，如下圖所示。此例中，輸入x=(x1,x2)為2維向量，分別對應房屋面積和臥室數目,y對應價格。現在想根據上述樣本資料，預測新的輸入x(k)對應的y(k)。

我們採用x的線性函式hθ(x)=θ0+θ1x

1+θ2x2來近似y值，其中θ0為偏移量。令x0=1,簡寫為hθ(x)=θTx。現在的問題是如何選擇θ的值，來使得hθ(x(i))最大程度接近y(i)值。

最小二乘代價函式

採用最小二乘法定義代價函式J(θ)=12∑mi=1(hθ(x(i))−y(i))2,表示每個樣本的預測值與真實值得差值平方的累加和。
現在問題轉化為代價函式J(θ)最小對應的θ值，其中因子12是為了後面的計算方便。

梯度下降：

梯度下降的思想是沿著函式負梯度方向，不斷更新θ值，每次更新一次，函式值下降一次，演算法如下：

1.初始化θ值；
2.更新θ值，使得J(θ)值更小 ：θ:=θ−α∇θJ(θ

)；
3.如果J(θ)值可以繼續減少，返回第2步；

其中α稱為學習率，決定著每一次迭代跨越的步長。θT=(θ0,θ1,θ2)為一個三維向量，梯度偏導數計算方法：

對於單個樣本資料，則更新方法為θj:=θj−α(hθ(x)−y)xj

關於梯度下降與梯度上升：
注意到，我們上述求偏導數得到(hθ(x)−y)xj，此方向為梯度上升方法，由於我們要求J(θ)的最小值，所以應沿著負梯度方向，即θj:=θj−α(hθ(x)−y)xj，若提取負號，就變為θj:=θj+α(y−h

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