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Description

已知一個長度為n的正整數序列A（下標從1開始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的冪集2^S定義為S 所有子 集構成的集合。定義對映 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 對於一切t屬於T現在albus把2^S中每個集 合的f值計算出來， 從小到大排成一行， 記為序列B（下標從1開始）。 給定一個數， 那麼這個數在序列B中第1 次出現時的下標是多少呢？

Input

第一行一個數n, 為序列A的長度。接下來一行n個數， 為序列A， 用空格隔開。最後一個數Q， 為給定的數.

Output

共一行， 一個整數， 為Q在序列B中第一次出現時的下標模10086的值.  

Sample Input

3

1 2 3

1

Sample Output

3

樣例解釋：

N = 3, A = [1 2 3]

S = {1, 2, 3}

2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

f(空) = 0

f({1}) = 1

f({2}) = 2

f({3}) = 3

f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3

f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2

f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1

f({1, 2, 3}) = 0

所以

B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

 

資料範圍：

1 <= N <= 10,0000

其他所有輸入均不超過10^9

 

 

Source

湖北省隊互測

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題解：
        問題即求子集異或和的某個數的排名；
       線性基的性質：若$A,|A|=n$的線性基為$B$，$|B|=k$,則有$2^k$個不同的子集異或和，且每個會出現$2^{n-k}$次；      

 

由基的線性無關性可以知道有且僅有$2^k$個異或和互不相同；

       這k個基是可以從$a_i$裡選出來的，只是我們為了好寫，一般插入就直接消元到某個數組裡；

       考慮他們的子集異或和S1，另外有$n-k$個數，可以被B中的向量唯一表示，考慮子集異或和S2 ;

       S1 ^ S2 也是一種合法的選法；

      這樣有$2^k * 2^{n-k} = 2^n$種 ,說明只有$2^n$且按照這種方式對應；

如果你關心一個蒟蒻的不太嚴謹的證明的話

 

 

 

      高斯亞當消元求出互相獨立的線性基，線上性基上一個一個查詢；

      注意消元的兩個迴圈(line23 line24 )有順序；

      複雜度;$ O(n log \ a_{i} +  log \ a_{i}) $
      20181030

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #include<cmath>
 7 #include<vector>
 8 #include<stack>
 9 #include<map>
10 #include<set>
11 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
12 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
13 #define ll long long
14 #define inf 0x3f3f3f3f
15 using namespace std;
16 const int N=100010 , mod=10086;
17 int n,d[31],q;
18 void ins(int x){
19     for(int i=29;~i;i--)if((x>>i)&1){
20         if(!d[i]){
21             d[i]=x;
22             for(int j=0;j<i;j++)if(d[j]&&((d[i]>>j)&1))d[i]^=d[j]; 
23             for(int j=29;j>i;j--)if((d[j]>>i)&1)d[j]^=d[i];
24             break;
25         }
26         else x^=d[i]; 
27     }
28 }
29 int pw(int x,int y){
30     int re=1;
31     while(y){
32         if(y&1)re=re*x%mod;
33         y>>=1;x=x*x%mod;
34     }
35     return re;
36 }
37 int query(int x){
38     int re=0,cnt=0;
39     for(int i=29;~i;i--)if(d[i])cnt++;
40     int tmp=cnt;
41     for(int i=29;~i;i--)if(d[i]){
42         tmp--;
43         if((x^d[i])<x){
44             x^=d[i];
45             re=(re+pw(2,tmp))%mod;
46         }
47     }
48     re=re*pw(2,n-cnt)%mod; 
49     return re;
50 }
51 int main(){
52     freopen("in.in","r",stdin);
53     freopen("out.out","w",stdout);
54     scanf("%d",&n);
55     Run(i,1,n){
56         int x;scanf("%d",&x);
57         ins(x);
58     }
59     int x;scanf("%d",&x);
60     cout<<(query(x)+1)%mod<<endl;
61     return 0;
62 }//by tkys_Austin;

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