2844: albus就是要第一個出場

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Description

已知一個長度為n的正整數序列A（下標從1開始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的冪集2^S定義為S 所有子 集構成的集合。定義映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 對於一切t屬於T現在albus把2^S中每個集 合的f值計算出來， 從小到大排成一行， 記為序列B（下標從1開始）。 給定一個數， 那麽這個數在序列B中第1 次出現時的下標是多少呢？

Input

第一行一個數n, 為序列A的長度。接下來一行n個數， 為序列A， 用空格隔開。最後一個數Q， 為給定的數.

Output

共一行， 一個整數， 為Q在序列B中第一次出現時的下標模10086的值.

Sample Input

3
1 2 3
1

Sample Output

3
樣例解釋：
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0

f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

數據範圍：

1 <= N <= 10,0000

其他所有輸入均不超過10^9

失蹤人口詐屍現場

題解

這題有個關鍵性質, 搞不出來很難做.

(其實樣例有一定暗示...但是數據太小並不是很令人信服...)

這個性質就是: 若 $n$ 個數的異或線性基有 $k$ 個, 則在 $n$ 個數構成的集合的所有 $2^n$ 個子集的異或和中共有 $2^k$ 種值, 每種有 $2^{n-k}$ 個.

網上找了不少博客都沒有證明...只是說"這個結論又強又好記記住就好了"...

稍微感性證明一下:

由於異或線性基中的 $k$ 個數線性無關(無法互相表出), 剩余 $n-k$ 個未被插入線性基中的數能表出的 $2^{n-k}$ 個值必定都能被線性基中的 $2^k$ 個數表出, 於是就可以構造出 $2^{n-k}$ 個不同的異或和為 $0$ 的子集.

而對於線性基的一個子集所表出的數 $x$, 我們可以用一個 $0$ 異或子集構造一個新的表示方法來表出 $x$.

設線性基的一個子集為 $B$, $0$ 異或子集為 $Z$, 則:

若 $B \cap Z = \varnothing$, 則集合 $S=B\cup Z$ 表出的值與 $B$ 表出的值相等.

若 $B \subset Z$, 則易得集合 $\complement_Z B$ 表出的值與 $B$ 表出的值相等.

若 $B \cap Z \neq \varnothing$ 且 $B \not \subset Z$, 則將 $B$ 分為兩個集合 $P=\{x|x\in B , x \not \in Z\}$ 和 $Q=B\cap Z$, 則集合 $P\cup(\complement_Z Q)$ 表出的值與 $B$ 表出的值相等.

於是對於任意 $B$ 和 $Z$, 我們都可以構造一個不同的集合 $S$ 使其表出的值與 $B$ 表出的值相等, 又因為任意 $B$ 表出的值不同 (線性基嘛), 所以所有 $2^n$ 個子集共能表出 $2^k$ 個不同的值, 其中每個值 $2^{n-k}$ 個.

然後就結束辣~求出線性基, 然後求能表出的小於 $q$ 的值有多少個, 乘上 $2^{n-k}$ 再 $+1$ 就可以了.

代碼實現

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 const int MOD=10086;
 4 const int MAXN=1e5+10;
 5 
 6 int n;
 7 int k;
 8 int pos[MAXN];
 9 int base[MAXN];
10 
11 int Pow(int,int,int);
12 
13 int main(){
14     scanf("%d",&n);
15     for(int i=0;i<n;i++){
16         int x;
17         scanf("%d",&x);
18         for(int p=30;p>=0;p--){
19             if((1<<p)&x){
20                 if(base[p])
21                     x^=base[p];
22                 else{
23                     base[p]=x;
24                     break;
25                 }
26             }
27         }
28     }
29     int x;
30     scanf("%d",&x);
31     for(int i=0;i<=30;i++){
32         if(base[i]){
33             pos[k]=i;
34             base[k++]=base[i];
35         }
36     }
37     int ans=0;
38     for(int i=0;i<k;i++){
39         if((1<<pos[i])&x){
40             ans^=(1<<i);
41         }
42     }
43     printf("%d\n",(ans%MOD*Pow(2,n-k,MOD)+1)%MOD);
44     return 0;
45 }
46 
47 int Pow(int a,int n,int p){
48     int ans=1;
49     while(n>0){
50         if(n&1)
51             ans=1ll*a*ans%p;
52         a=1ll*a*a%p;
53         n>>=1;
54     }
55     return ans;
56 }

[BZOJ 2844] albus就是要第一個出場