演算法分析

演算法分析的目的是預測演算法所需的資源，如計算時間（CPU 消耗）、記憶體空間（RAM 消耗）、通訊時間（頻寬消耗）等，以及預測演算法的執行時間，即在給定輸入規模時，所執行的基本運算元量，或者稱為演算法複雜度。

演算法的執行時間取決於輸入的資料特徵，輸入資料的規模和執行時間的上限（因為執行時間的上限是對使用者的承諾）。演算法分析一般忽略掉那些依賴於機器的常量，而關注執行時間的增長趨勢。一般僅考量演算法在最壞情況下的執行情況，使用 O 記號法表示最壞執行情況的上界。例如：

線性複雜度O(n) 表示每個元素都要被處理一次。

平方複雜度 O(n²)表示每個元素都要被處理 n 次。

復雜度	標記符號	描述
常量（Constant）	O(1)	操作的數量為常數，與輸入的資料的規模無關。
對數（Logarithmic）	O(log2n)	操作的數量與輸入資料的規模 n 的比例是 log2 (n) 。
線性（Linear）	O(n)	操作的數量與輸入資料的規模 n 成正比。
平方（Quadratic）	O(n2)	操作的數量與輸入資料的規模 n 的比例為二次平方。
立方（Cubic）	O(n3)	操作的數量與輸入資料的規模 n 的比例為三次方。
指數（Exponential ）	O(2n)  O(kn)  O(n!)	指數級的操作，快速的增長。

不同時間複雜度中元素數量與操作次數的關係圖：

而通常時間復雜度與執行時間有一些常見的比例關係：

復雜度	10	20	50	100	1000	10000	100000
O(1)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(log2(n))	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n*log2(n))	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n2)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	2s	3-4 min
O(n3)	<1s	<1s	<1s	<1s	20s	5 hours	231 days
O(2n)	<1s	<1s	260 days	hangs	hangs	hangs	hangs
O(n!)	<1s	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs
O(nn)	3-4 min	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs

計算程式碼塊的漸進執行時間，即演算法複雜度的方法有如下步驟：

1、確定決定演算法執行時間的組成步驟。

2、找到執行該步驟的程式碼，標記為 1。

3、檢視標記為 1 的程式碼的下一行程式碼。如果下一行程式碼是一個迴圈，則將標記 1 修改為 1 倍於迴圈的次數 1 * n。如果包含多個巢狀的迴圈，則將繼續計算倍數，例如 1 * n * m。

4、找到標記到的最大的值，就是執行時間的最大值，即演算法複雜度描述的上界。

如，斐波那契數列：

Fib(0) = 0，Fib(1)= 1，Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)

F() = 0, 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34 ...

例1

int Fibonacci(int n)

{

   if (n <= 1)

        return n;

   else

        return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n -2);

}

這裡，給定規模 n，計算Fib(n) 所需的時間為計算 Fib(n-1) 的時間和計算 Fib(n-2) 的時間的和。T(n<=1) = O(1)，T(n)= T(n-1) + T(n-2) + O(1)，通過使用遞迴樹的結構描述可知演算法複雜度為 O(2ⁿ)。

例2

int Fibonacci(int n)

{

   if (n <= 1)

        return n;

   else

   {

        int[] f = new int[n + 1];

        f[0] = 0;

        f[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++)

        {

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