一、數論

  

1.數

 

整數、自然數（大於等於0的整數）、正整數（大於0的整數）、負整數、非負整數、非正整數、非零整數、奇數偶數。

 

2.整除性

 

設a,b∈Z，如果存在c∈Z並且a=bc，則稱b|a（b為a的因子，“|”表示“能整除”）

 

3.質數

 

如果一個數，只有1和自身作為因子的數，叫做質數（素數）。

通論1：存在一個質數p，若p|ab，則p|a或者p|b。

通論2：若p|a或者(p,a)=1（p和a的最大公因子為1），則p|a²

可以推出 p|a。

通論3：用π(x)表示不超過x的質數的個數，可以證：limπ(x)lnx÷x=1，換種通俗說法就是：1~x的質數個數大約為x/lnx（證明時間複雜度時可以用）。

 

4.質數的判定

 

（1）一個很多人都在用的辦法（判斷一個較小的數是否為質數）：

bool prime(int x)//判斷質數時間複雜度：O(sqrt(x))，最多1012~1014

{

   if(x<2) return false;

   for(int a=2;a*a<=x;a++)

   {

        if(x%a==0) return false;//不是質數

   }

   return true;//是質數

}

（2）運用費馬小定理： 

p為一個素數且p不是a的倍數，則有：a^p-1≡1(mod p)（不能從右邊推到左邊）

做法：多次選取a檢驗p是否滿足費馬小定理（說明p可能是質數，選的滿足條件的a越多，p為質數的可能性越大）。

時間複雜度為：

O(klogp)，選取k個a，判斷的過程用掉logp，總的加起來為klogp。

特別地，這樣的演算法有缺陷，因為有Carmichael數的存在，可導致上述演算法給出一個錯誤的判斷，例如：561、1105、1729，這三個數滿足費馬小定理，但是它們都是合數！

這裡給出1~10000的Carmichael數：561、1105、1729、2465、2821、6601、8911。

 

（3）Miller-Rabin演算法（判斷一個很大的數是否為質數）：

由於Carmichael數的存在，並且Carmichael數是有無窮多個的，那怎麼辦？打表？肯定不行啊！所以就要加強這個演算法！

如果n為素數，取a<n，令n-1=d×2^r，則要麼a^d≡1(mod n)，要麼存在一個數i滿足：0≤i＜r，使得：a^{d×2^i}≡-1(mod n)，“一個數mod n=-1”可以表示為：“一個數mod n=n-1”，同樣地也是不能從右邊推到左邊。

時間複雜度：O(klogn)

做法：多次選取a檢驗p是否滿足，則是質數的概率就大。（有個好訊息：不存在Carmichael數這樣的特殊情況！）

例如：12=3*2²

int a[5]={3,7,11,23,37}//這裡選了鍾神喜歡的5個質數來檢驗是否滿足條件，如果不夠保險的話還可以多加幾個

bool Miller_Rabin(int n)//從a[]中選出5個a

{

   n-1=d*2^r;//用n-1來確定d、r

   for(int j=1;j<=5;j++)//這裡用了5個小於n的質數a來檢驗，用質數是因為效果更好！

   {

       if(pow(a[j],d)%n!=1)//不滿足第一個條件，pow為快速冪函式，pow(a,b)計算a^b

        {

            for(int i=0;i<r;i++)

            {

                if(pow(a[j],d*2^i)%n==-1)return true;//第二個條件

            }

            return false;

        }

   }

}

（4）篩法（處理1~n區間內有哪些質數）： 

基本做法：給出要篩數值的範圍sqrt(n)，找出 sqrt(n)以內的素數p1,p2,p3,…,pk。先用2去篩，即把2留下，把2的倍數剔除掉；再用下一個素數，也就是3篩，把3留下，把3的倍數剔除掉；接下去用下一個素數5篩，把5留下，把5的倍數剔除掉；這樣不斷重複下去…… 

①非線性篩法：

bool not_prime[1000000];//true表示不是質數，false表示是質數

not_prime[1]=true;//1不是質數

for(int a=2;a<=n;a++)

{

   for(int b=a+a;b<=n;b+=a)

   {

        not_prime[b]=true;

   }

}

時間複雜度：(1/1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)*n=nlogn

 

下面給出了優化版篩法，時間複雜度為：nlog(logn)

演算法思路：如果當前這個數是合數，之前已經列舉過比它小的因子，在列舉這個小因子的時候，已經把這個合數的倍數覆蓋掉了，所以沒必要。

bool not_prime[1000000];//優化版非線性篩法

not_prime[1]=true;//1不是質數

for(int a=2;a<=n;a++)

{

   if(!not_prime[a])//如果是質數，進入迴圈，是合數就不進入

   {

        for(int b=a+a;b<=n;b+=a)

        {

            not_prime[b]=true;

        }

   }

}

②線性篩法：

演算法思路：每個合數都由它最小的質因子篩掉（程式碼第12行）。一個合數會被拆成幾個質因子相乘，利用最小的質因子就可以把這個合數篩掉了，避免了重複篩的過程。

 

int not_prime[1000000];

int prime[1000000];//質數表

int prime_count=0;//質數的個數

memset(not_prime,0,sizeof(not_prime));

not_prime[1]=true;//1不是質數

for(int i=2;i<=n;i++)

{

   if(!not_prime[i]) prime[++prime_count]=i;//把i放入質數表prime[]中

   for(int j=1;j<=prime_count;++j)//列舉質數表中的每一個數

   {

        if(prime[j]*i>n) break;

        not_prime[prime[j]*i]=true;//翻倍，一個數×另一個數一定為合數

        if(i%prime[j]==0) break;

   }

}

時間複雜度：是線性的，接近於O(n)。

 

5.最大公因數

 

（1）歐幾里得演算法（輾轉相除法）：

原理什麼的我就不說了，看程式碼YY一下就知道啦（詳見人教版高中數學必修三）。

 

int gcd(int a,int b)//歐幾里得演算法時間複雜度：O(loga)

{

   if(!b) return a;

   else return gcd(b,a%b);

}

int gcd(int a,int b)//簡化版歐幾里得演算法時間複雜度：O(loga)

{

   return b?gcd(b,a%b):a;//一行程式碼就是爽

}

 

（2）擴充套件歐幾里得演算法： 

用來在已知的a、b中求解一組x、y，使得ax+by=gcd(a,b)成立（根據數論相關定理，這組解一定存在）

求解過程（引自P₂O₅dalao的blog：http://p2oileen.xyz/index.php/2017/06/07/exgcd/）：

設a>b，則有當b=0時，gcd(a,b)=a，此時x=1，y=0。

當ab≠0時，設ax1+by1=gcd(a,b)，因為gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，則一定有：bx2(a%b)y2=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=ax1+by1

所以將bx2+(a%b)y2=ax1+by1移項+整理可得：

ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根據恆等定理：x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2;

這樣我們就可以通過x2,y2遞迴求解x1,y1辣！

在gcd不斷遞迴求解的過程中，總會有一個時刻b=0，所以遞迴是有終止條件的。

遞迴程式碼如下：

 

int Ex_Gcd(int a,int b,int&x,int &y)

{

   if(b==0)

   {

        x=1;

        y=0;

        return a;

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