1.證明形如4n-1的素數有無數個。
證明：在已知素數有無數個的情況下，素數可以分為兩種，4n-1型和 4n+1型
假設4n-1型有限，不妨令他們為p1 p2…pn
令x = 4xp1xp2…pn-1
若 x為素數，不用多說
若x為合數，且有4n-1型質因子，不妨設為q，則q一定在p1,p2..pn中，但q|x又q|x+1 矛盾，則x只有4n+1型質因子，這時x同餘1（mod4） 與假設x同餘-1(mod4)矛盾

2.對於任意的給定整數x0，不存在整係數多項式f(x)=a0x^n +a1x^n-1+…an(an!=0 ,n>0),使得x取所有>=x0的整數時，f(x)表示素數
證明：若an=0 ，那麼這個多項式不存在，因為它必是一個含有x0作因子的合數
將an分解質因子為p1,p2..pk，若x0<其中最小的，不妨設為pl，那麼x取pl就可以使這個式子變為合數。若x0>其中最大的，那取x = an整數倍且>x0，也可以使它變為合數

3.設a,b,c為三個不全為0的整數，且a = pb+c 那麼（a,b) = (b,c)
證明：不妨設a=kl b=ml,l為a,b的最大公約數，則c=kl-ml=(k-m)l，那麼（b,c)=(ml,(k-m)l)。因為k同餘m(modm)，假設k-m = gm，則k=(g+1)m，與k與m互質矛盾，所以k-m與m互質。所以l也是b和c的最大公約數

4.若任給整數a,b>0，則存在整數m,n 使得（a,b)=ma+nb
證明：由前可知a，b可表示為hl,jl，則令l=mhl+njl，即有mh+nj=1即可滿足條件

5.關於前一個定理有它的關於n的推廣，證明有興趣可以自行證明
n>2，存在a1,a2..an這樣的正整數，使得a1x1+…anxn=（a1,a2…an）