OFDM即正交頻分複用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing），是多載波調製的一種，通俗來說就是通過多條互相沒有關係的通道傳輸不同的資訊。OFDM現在主要用於4G通訊上，並且由於其頻帶利用率高，抗多徑能力強，能有效抑制ISI（符號間干擾）和ICI（通道間干擾），在水聲通訊方面也有較多的應用，這是後話。今天主要整理下OFDM原理上的一些東西，也理一理比較雜亂的大腦。

    剛提到說OFDM的頻帶利用率高，抗多徑能力強，那麼對於OFDM的原理應該分以下幾個部分進行說明：

    1、子載波的正交性

    2、OFDM與傅立葉變換的關係

    3、抗多徑、抑制ISI和ICI的原因及迴圈字首

一、子載波的正交性

    什麼是正交？從向量上來看就是兩個互相垂直的向量，無論其模長是多少，相乘總是等於0：

    而在函式上的正交性是怎樣的呢？用文字來說，就是無論兩個函式的幅值為多少，在確定的一個時間週期內相乘，其積分總是等於0（也就是面積相加為0）。比如最簡單的一對正交函式sin(t)和sin(2t)（matlab實在不熟練，畫個圖還要百度半天，乾脆也截圖下來好了）：

其中紅色是sin(t)，藍色是sin(2t)。他們均在2π時間內具有完整的週期，各自在2π時間內的積分問為0（正負面積相加為0）。而sint(t)*sin(2t)的影象為：

可以大概地看出，影象中正負面積相加同樣為0，也就是：

再總結一遍，函式的正交性就是無論兩個函式的幅值為多少，在確定的一個時間週期內相乘，其積分總是等於0。那麼如果使得sin(t)的幅度為a，sin(2t)的幅度為b，也就是將a調製於sin(t)，將b調製於sin(2t)，同時傳輸這兩個調製了訊號的正弦波（子載波）：a*sin(t)+b*sin(2t)，在接收時又分別對兩路子載波進行積分，也就是：

 看，這樣就將原始資訊a和b解調出來了，兩路子載波互不干擾，而OFDM就是通過多路互不干擾的子載波傳遞了不同的資訊。而由於子載波的正交性，其頻率間隔很小，使得頻帶利用率很高，在水聲通道這樣可用頻帶窄的環境中較為適用。

    設f0~fN-1是以Δf（能使每個子載波互相正交的頻率間隔）為頻率間隔的N個頻率，Nc為用到的子載波個數，那麼就有：

由於正弦函式與餘弦函式的正交關係，上式還可以擴充套件為：

畫個常見於各種OFDM原理說明文章內的框圖來說，就是這樣：

其中，F(n)是序列位元流經過編碼後（按照不同的對映方式），產生的複數形式的資料流，a和b均為-1（也就是二進位制的0）或1。F(n)中的實數a(n)調製於餘弦子載波上，複數b(n)調製於正弦子載波上（三角函式的複數形式ej2πft=cos(2πft)+jsin(2πft)）。在N個頻率中，只有Nc個子載波是用於傳遞資訊（這裡說得有點繞，暫且理解處理過程即可）。之後將所有路的訊號進行疊加，就成為了傳遞出去的波形了。在接收端，對各路訊號進行積分，便解調出了a(n)和b(n)。

二、OFDM與傅立葉變換的關係

    OFDM系統在處理的過程中要用到傅立葉變換，也是讓很多人知其然不知其所以然的一個問題。將剛才的f(t)改寫為複數形式，也就是：

 查一下傅立葉變換的公式，是不是特別像？傅立葉變換（FFT）就是將時域的波形轉換為頻域來看，頻域上顯示出來的各頻率的幅度就是所調製的訊號，逆傅立葉變換（IFFT）就是將調製了訊號的各頻率值合成為時域上的波形的過程，自然從公式上看是一樣的了。所以，調製的過程就是逆傅立葉變換的過程，解調的過程就是傅立葉變換的過程。

    上面複數表示式我認為可以這樣理解，在一個子載波上（正餘弦只不過是相位上的差別），而Fk即之前的F(n)=a(n)+jb(n)，也就是一個子載波上可以攜帶2位元資料（具體攜帶1個還是2個與編碼對映有關，本文以QPSK為例，也就是攜帶2位元）。

    那麼之前為什麼要繞半天又N又Nc又k的呢？這個就跟IFFT的處理過程有關了，乾脆以一個例項來說最明白不過：

    1、假設我們取IFFT的點數N=2048；

    2、輸出通帶為6~12kHz；

    3、（IFFT變換後的）取樣頻率設定為fs=48kHz（根據取樣定理，fs要大於2倍的最高頻率）。

    那麼從以上三條我們可以知道什麼呢？

    1、第0個點（n=0）是零頻，也就是直流；

    2、第1024個點（n=N/2）對應的頻率是24k（fs/2），以此為界，第1~2047個點是對稱的，對稱的原因嘛，看傅立葉變換的原理去（其實我也說不清，證明過程貌似有點複雜）；

    3、頻率間隔Δf=fs/N=23.4375Hz，合著上一條一起看，也就是把48k平均分成了2048份，每一份之間的頻率間隔為23.4375Hz（而實際上有意義的只有n<=1024）；

    4、算得6k對應n=f1/Δf=256，12k對應n=f2/Δf=512，因此Nc必須小於256，並且n的取值範圍要在[256,512]內，否則輸出的頻率將高於或低於輸出通帶，這裡以Nc=128為例，中心頻率為9k，則n的取值為[320,448)；

    5、從時域上來看，可以知道取樣週期Ts=1/fs=20.83μs，符號週期T=N*Ts=42.67ms，也就是頻域上分了2048份，在時域上也取樣了2048次；

    6、這個符號週期指的就是一次IFFT變換需要的時間，也就是對於128個子載波，每個子載波分別在T時間內傳輸了一個複數符號（2bits），並且疊加在了一起，把256bits的資料發射了出去；

    7、進一步地，假設聲碼器的位元速率為600bps（每45bits/75ms），要保證發射出去的速率與聲碼器一致，而我們現在的速率為每6kbps(256bits/42.67ms)，怎麼辦呢？那就需要在每次IFFT變換之間留有間隔，為Tcp=256bits/600bps-42.67ms=384ms，這麼長的時間間隔就這麼空著嗎？當然不，這就涉及到迴圈字首，將在第三節說明。

    整理一下涉及到的公式：

    1、取樣頻率：fs>2*fmax

    2、頻率間隔：Δf=fs/N

    3、有用子載波個數Nc<(f2/Δf-f1/Δf)

    4、有用子載波取值範圍[f1/Δf,f2/Δf)

    5、頻率與n值的對應關係：n=f/Δf

    6、符號週期：T=N*Ts=N/fs

    7、位元速率=Nc*2/(T+Tcp)(是否乘2根據一個複數符號攜帶1bit還是2bits而定)

三、抗多徑、抑制ISI和ICI的原因及迴圈字首

    說到OFDM的抗多徑能力就不得不說到迴圈字首。多徑干擾會產生時延擴充套件、訊號衰落，簡單說就是對於一個脈衝訊號，經過了多徑通道傳輸後，產生了多個具有時延的，有一定衰落的脈衝訊號，這些訊號幅度服從瑞利分佈：

對於ISI（符號間干擾），只要前一個符號的時延擴充套件時間（通道衝激響應長度）不會影響到下一個符號，便可以消除ISI，也就是說每個符號之間的保護間隔時間要大於時延擴充套件的時間。

    對於ICI（訊號間干擾），就要談到迴圈字首（CP）。由於我們的通道是多徑通道，各路子載波被接收到的時間可能有偏差，這就造成在FFT積分時間長度內子載波之間相差不再是整數週期，子載波之間的正交性受到破壞，如果保護間隔中只是單純地填零，那麼在解調時子載波之間就會產生干擾。迴圈字首是將符號尾部的訊號搬移到前方構成的，這樣，就可以保證各路子載波在一次FFT積分時間長度內，各子載波之間相差總是整數個週期，避免了訊號間的干擾。