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最短路+拓撲排序+dp NOIP 2017 逛公園

讓我們一起來%forever_shi神犇

題意:
給你一個 n n 個點 m m 條邊的有向帶權圖,設 1

1 號點到 n n 號點的最短路是 d i s dis
,給你一個 k ( k < = 50 ) k(k<=50) ,求所有 1 1 n n 的路徑中長度不超過 d i s + k dis+k 的數量。

題解:
顯然我們要先處理出最短路,如果 k = 0 k=0 ,就是最短路計數了。要做計數,我們不難想到要在圖上 d p dp 。我們發現只要有一個邊權全部是 0 0 的環,那麼我們的滿足題意的路徑就會有無數條,因為可以在環裡轉任意多圈之後再出來。那麼我們要判斷是否有無窮多解就是去找有沒有全部是 0 0 的環。

我們可以先處理出一個最短路圖,最短路圖的含義是由所有 d i s [ x ] + w [ x ] [ y ] = d i s [ y ] dis[x]+w[x][y]=dis[y] 的邊連成的圖,最短路圖的一個性質:如果邊權都是正數,那麼最短路圖是一個DAG。DAG是可以拓撲排序的,如果最後每個點入度都是 0 0 ,就不存在權值全是 0 0 的環,否則就是有權值全是 0 0 的環,因為權值是 0 0 的邊一定不會讓兩點之間的最短路變長,所以其就一定會在最短路圖上,而形成環的話是沒法有其中某一個點的入度是 0 0 ,因此判斷拓撲排序後的入度即可。

對圖拓撲排序後根據圖的拓撲序在DAG上 d p dp 也是一個經典套路,這裡我們就會採用這個套路。我們設 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] 表示對於點 i i d i s [ i ] dis[i] j j 的路徑數,那麼對於路徑 x > y x−>y ,狀態轉移方程即為: d p [ y ] [ j + w ( x , y ) ( d i s [ y ] d i s [ x ] ) ] + = d p [ x ] [ j ] dp[y][j+w(x,y)−(dis[y]−dis[x])]+=dp[x][j]

那麼我們列舉 j j ,然後按照拓撲序列舉 x x ,再列舉從 x x 出發的所有邊,進行 d p dp 。注意外層是列舉 j j ,因為在 d p dp 的過程中如果外層列舉 x x 的話DAG上是沒有環的,但是這裡的邊是列舉原圖的邊,所以可能之後會有環再回到 x x ,得到答案就是錯誤的了。還有就是這個 d p dp 看似列舉的層數很多,但是其實複雜度並不高,因為所有邊都只會被列舉到一次,所有點都只會被列舉 k + 1 ( 0 k ) k+1(0到k) 次,所以總的複雜度是 O ( n k ) O(n∗k) 的。

最後答案就是 i = 0 k d p [ n ] [ i ] \sum^k_{i=0}dp[n][i]了

(吸氧苟過去QAQ)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rint register int
using namespace std;
const int maxn=201000;
struct node
{
    int next,to,dis,from;
}e[maxn],a[maxn];
int head[maxn],head1[maxn],num,num1,i;
int dis[maxn],n,m,T,K,p,rd[maxn],numm[maxn];
int que[maxn],ji,u,v,d;
ll dp[200200][55],ans;
bool book[maxn];
priority_queue<pair<int,int> > q;
int read()
{
    int x=0,y=1;
    char c;
    c=getchar();
    while((c<'0'||c>'9')&&c!='0')
    c=getchar();
    if(c=='-')
    {
        y=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*y;
}
void add(int from,int to,int dis)
{
    e[++num].next=head[from];
    e[num].to=to;
    e[num].from=from;
    e[num].dis=dis;
    head[from]=num;
}
void add1(int from,int to,int dis)
{
    a[++num1].next=head1[from];
    a[num1].to=to;
    a[num1].dis=dis;
    head1[from]=num1;
}
void dij(int s)
{
    for(rint i=1;i<=n;++i)
        dis[i]=999999999;
    dis[s]=0;
    q.push(make_pair(0,s));
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if(book[x])
            continue;
        book[x]=1;
        for(rint i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[x]+e[i].dis)
            {
                dis[v]=dis[x]+e[i].dis;
                q.push(make_pair(-dis[v],v));
            }
        }
    }
}
void topsort()
{
    int h=1,t=0;
    for(rint i=1;i<=n;++i)
        if(!rd[i])
            que[++t]=i;
    while(h<=t)
    {
        int x=que[h];
        numm[++ji]=x;
        for(rint i=head1[x];i;i=a[i].next)
        {
            int v=a[i].to;
            rd[v]--;
            if(!rd[v])
                que[++t]=v;
        }
        h++;
    }
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        memset(book,0,sizeof(book));
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(head1,0,sizeof(head1));
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(e,0,sizeof(e));
        memset(rd,0,sizeof(rd));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(numm,0,sizeof(numm));
        memset(que,0,sizeof(que));
        num=0,num1=0,ji=0,ans=0;
        bool flag=0;
        scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&K,&p);
        int u,v,d;
        for(rint i=1;i<=m;++i)
        {
            u=read();
            v=read();
            d=read();
            add(u,v,d);
        }
        dij(1);
        for(rint i=1;i<=num;++i)
        {
            if(dis[e[i].from]+e[i].dis==dis[e[i].to])
            {
                add1(e[i].from,e[i].to,e[i].dis);
                rd[e[i].to]++;
            }	
        }
        topsort();
        for(rint i=1;i<=n;++i)
            if(rd[i])
            {
                flag=1;
                break;
            }
        if(flag)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        dp[1][0]=1;
        for(rint k=0;k<=K;++k)
            for(rint i=1;i<=n;++i)
            {
                int x=numm[i];
                for(rint j=head[x];j;j=e[j].next)
                {
                    int v=e[j].to;
                    int len=k+e[j