【tarjan 拓撲排序 dp】bzoj1093: [ZJOI2007]最大半連通子圖
思維難度不大,關鍵考代碼實現能力。一些細節還是很妙的。
Description
一個有向圖G=(V,E)稱為半連通的(Semi-Connected),如果滿足:?u,v∈V,滿足u→v或v→u,即對於圖中任意
兩點u,v,存在一條u到v的有向路徑或者從v到u的有向路徑。若G‘=(V‘,E‘)滿足V‘?V,E‘是E中所有跟V‘有關的邊,
則稱G‘是G的一個導出子圖。若G‘是G的導出子圖,且G‘半連通,則稱G‘為G的半連通子圖。若G‘是G所有半連通子圖
中包含節點數最多的,則稱G‘是G的最大半連通子圖。給定一個有向圖G,請求出G的最大半連通子圖擁有的節點數K
,以及不同的最大半連通子圖的數目C。由於C可能比較大,僅要求輸出C對X的余數。
Input
第一行包含兩個整數N,M,X。N,M分別表示圖G的點數與邊數,X的意義如上文所述接下來M行,每行兩個正整
數a, b,表示一條有向邊(a, b)。圖中的每個點將編號為1,2,3…N,保證輸入中同一個(a,b)不會出現兩次。N ≤1
00000, M ≤1000000;對於100%的數據, X ≤10^8
Output
應包含兩行,第一行包含一個整數K。第二行包含整數C Mod X.
Sample Input
6 6 200706031 2
2 1
1 3
5 6
6 4
Sample Output
33
題目分析
首先來分析一下題目給的約束條件到底在描述一個什麽東西。
半連通子圖?
乍一看好像“半連通子圖”是個非常麻煩的東西,但是顯然一個環肯定是一個半連通子圖,於是我們可以先縮點。
縮完點之後就變成一個DAG了,這時多畫幾個圖就會發現,若一個子圖是半連通子圖,則它必定是一條鏈。這個其實是挺顯然的,這裏就不用形式化的語言描述了。
於是求最大半連通子圖就變成了求:縮點後,求有向圖帶點權的最長鏈。
方案數
那麽DAG求最長鏈很容易,記憶化搜索或者拓撲排序都可以。求方案數的話,也就是類似dp的方法,用$g[i]$表示以$i$為終點最長鏈的方案數,轉移起來也挺方便的。
對了為了統計方案數,連通塊之間的連邊需要去重。
從黃學長博客上學到一種挺巧妙的去重方法(雖然說知道後很簡單,但是還是很妙的),就是對於$(u,v)$,每次操作完記錄$vis[v]=u$,若遇到$vis[v]=u$則退出。
於是就變成了:tarjan+拓撲+dp的板子匯總題
我是把之前寫的tarjan板子套上去了,所以有點長……都3k了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 const int maxn = 100035; 4 const int maxm = 1200035; 5 6 int n,m; 7 int deg[maxn],vis[maxn],q[maxn],qHead,qTail; 8 int head[maxn],nxt[maxm],edges[maxm],edgeTot; 9 ll p,col[maxn],cols,size[maxn],f[maxn],g[maxn]; 10 ll mx,cnt; 11 12 int read() 13 { 14 char ch = getchar(); 15 int num = 0; 16 bool fl = 0; 17 for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) 18 if (ch==‘-‘) fl = 1; 19 for (; isdigit(ch); ch = getchar()) 20 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 21 if (fl) num = -num; 22 return num; 23 } 24 namespace tarjanSpace 25 { 26 int stk[maxn],cnt; 27 int a[maxn],dfn[maxn],low[maxn],tim; 28 int edgeTot,edges[maxm],nxt[maxm],head[maxn]; 29 void tarjan(int now) 30 { 31 dfn[now] = low[now] = ++tim, stk[++cnt] = now; 32 for (int i=head[now]; i!=-1; i=nxt[i]) 33 { 34 int v = edges[i]; 35 if (!dfn[v]) 36 tarjan(v), low[now] = std::min(low[now], low[v]); 37 else if (!col[v]) 38 low[now] = std::min(low[now], dfn[v]); 39 } 40 if (low[now]==dfn[now]) 41 { 42 ::col[now] = ++::cols, ::size[cols] = 1; 43 for (; stk[cnt]!=now; cnt--, ::size[cols]++) 44 ::col[stk[cnt]] = ::cols; 45 cnt--; 46 } 47 } 48 inline void addedgeInner(int u, int v) 49 { 50 edges[++edgeTot] = v, nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot; 51 } 52 inline void addedgeOuter(int u, int v) 53 { 54 deg[v]++, ::edges[++::edgeTot] = v, ::nxt[::edgeTot] = ::head[u], ::head[u] = ::edgeTot; 55 } 56 void dealOuter() 57 { 58 for (int i=1; i<=n; i++) 59 { 60 int u = col[i]; 61 for (int j=head[i]; j!=-1; j=nxt[j]) 62 if (u!=col[edges[j]]) 63 addedgeOuter(u, col[edges[j]]); 64 } 65 cols--; 66 } 67 void solve() 68 { 69 memset(head, -1, sizeof head); 70 cnt = tim = edgeTot = 0; 71 for (int i=1; i<=n; i++) addedgeInner(0, i); 72 for (int i=1; i<=m; i++) 73 { 74 int u = read(), v = read(); 75 addedgeInner(u, v); 76 } 77 tarjan(0); 78 dealOuter(); 79 } 80 } 81 void topoSort() 82 { 83 qHead = 0, qTail = 0; 84 for (int i=1; i<=cols; i++) 85 { 86 if (!deg[i]) q[++qTail] = i; 87 f[i] = size[i], g[i] = 1; 88 } 89 while (qHead!=qTail) 90 { 91 int u = q[++qHead]; 92 for (int i=head[u]; i!=-1; i=nxt[i]) 93 { 94 int v = edges[i]; 95 if ((--deg[v])==0) q[++qTail] = v; 96 if (vis[v]==u) continue; 97 if (f[v] < f[u]+size[v]) 98 f[v] = f[u]+size[v], g[v] = g[u]; 99 else if (f[v]==f[u]+size[v]) 100 g[v] = (g[v]+g[u])%p; 101 vis[v] = u; 102 } 103 } 104 } 105 int main() 106 { 107 memset(head, -1, sizeof head); 108 n = read(), m = read(), p = read(); 109 tarjanSpace::solve(); 110 topoSort(); 111 for (int i=1; i<=cols; i++) 112 if (f[i] > mx) 113 mx = f[i], cnt = g[i]; 114 else if (f[i]==mx) 115 cnt = (cnt+g[i])%p; 116 printf("%lld\n%lld\n",mx,cnt); 117 return 0; 118 }
END
【tarjan 拓撲排序 dp】bzoj1093: [ZJOI2007]最大半連通子圖