【EOJ Monthly 2018.10 - B】 莫干山奇遇 （思維構造，數學，陣列，貪心）（總結）
題幹：
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出題人當然是希望出的題目有關 oxx，於是想方設法給題目配上一些有關 oxx 的背景故事，使得它看起來不那麼無趣。但有的時候卻無法引入合適的小姐姐，使得 oxx 顯得非常可憐。所以出題人刪除了故事，只留下一個枯燥乏味的數學問題。
【故事已刪除】
給一個長度為 n 的序列 a1,a2,…,an ，求一個長度為 m 的序列 b1,b2,…,bm 使得：
- a1,a2,…,an 是 b1,b2,…,bm 的子序列（不一定連續），且
- 存在常數 p>0 使得 b1,b2,…,bm 是一個 p -莫干山序列。
序列 s1,s2,…,sn 是 p -莫干山序列，當且僅當：存在 0≤x<p 對於 1≤i≤n 滿足 si=(x+i)modp 。
求 m 的最小值。
Input
第一行一個整數 n (1≤n≤2⋅105 )。
第二行 n 個整數用空格隔開 a1,a2,…,an (0≤ai≤109 )。
Output
輸出最小的 m 。
Examples
Input
2
0 2
Output
3
Input
3
0 2 0
Output
4
Input
1
0
Output
1
Input
10 0 1 2 3 5 6 7 8 9 1000000000
Output
1000000001
Input
3
0 1 2
Output
3
Note
樣例 1: [0, 1, 2].
樣例 2: [0, 1, 2, 0].
樣例 3: [0].
解題報告：
首先注意到 p 的取值應該就是 max(ai)+1 。然後相鄰兩項之間貪心地填東西。答案就是
下面給出證明：
顯然可以注意到，p越大，需要填的數就會越多，相應的，m就越大，所以我們需要讓p越小越好，下界是多少呢？因為我們需要可以表示出所有的ai啊！！所以p肯定要大於max(ai)，於是乎令p=max(ai)+1是正解。
其次，x的取值，因為題目說存在一個x，使對於任意的i、、、說明確定了x之後，就不再改變了。（想想如果是對於任意的i，都存在一個x，如果這樣敘述的話？、、、這題就簡單多了貌似）一般這種存在性構造問題，都是構造的值令第一個值（a1）是最優的，為最優解。所以我們令x=(a1) -1。對於這個題也只能是讓第一個值是最優的，因為可以證明，每兩個數之間要插入的數字的個數都是相同的。於是p、x這兩個值都被我們得到了，這個題也就自然而然解決了。
AC程式碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAX = 2e5 +5;
ll a[MAX];
int main()
{
int n;
ll maxx = -1;
cin>>n;
for(int i = 1; i<=n; i++) {
scanf("%lld",a+i);maxx = max(maxx,a[i]);
}
ll p = maxx+1;
ll ans = 0;
for(int i = 2; i<=n; i++) {
ans += (a[i]-a[i-1] - 1 + p)%p;
}
printf("%lld\n",ans + n);
return 0;
}
總結：
對於這種存在某變數的構造問題，往往可以先講一些不確定量找到對應的確定量（比如這題要先把p確定了），然後再確定這個存在性的變數（往往和陣列中的第一個元素或者某一個元素是對應的）。