在很多應用中，我們通常需要按照優先順序情況對待處理物件進行處理，比如首先處理優先順序最高的物件，然後處理次高的物件。最簡單的一個例子就是，在手機上玩遊戲的時候，如果有來電，那麼系統應該優先處理打進來的電話。

在這種情況下，我們的資料結構應該提供兩個最基本的操作，一個是返回最高優先順序物件，一個是新增新的物件。這種資料結構就是優先順序佇列(Priority Queue) 。

本文首先介紹優先順序佇列的定義，有序和無序陣列以及堆資料結構實現優先順序佇列，最後介紹了基於優先順序佇列的堆排序(Heap Sort)

一 定義

優先順序佇列和通常的棧和佇列一樣，只不過裡面的每一個元素都有一個”優先順序”，在處理的時候，首先處理優先順序最高的。如果兩個元素具有相同的優先順序，則按照他們插入到佇列中的先後順序處理。

優先順序佇列可以通過連結串列，陣列，堆或者其他資料結構實現。

二 實現

陣列

最簡單的優先順序佇列可以通過有序或者無序陣列來實現，當要獲取最大值的時候，對陣列進行查詢返回即可。程式碼實現起來也比較簡單，這裡就不列出來了。

如上圖：

· 如果使用無序陣列，那麼每一次插入的時候，直接在陣列末尾插入即可，時間複雜度為O(1)，但是如果要獲取最大值，或者最小值返回的話，則需要進行查詢，這時時間複雜度為O(n)。

· 如果使用有序陣列，那麼每一次插入的時候，通過插入排序將元素放到正確的位置，時間複雜度為O(n)，但是如果要獲取最大值的話，由於元阿蘇已經有序，直接返回陣列末尾的 元素即可，所以時間複雜度為O(1).

所以採用普通的陣列或者連結串列實現，無法使得插入和排序都達到比較好的時間複雜度。所以我們需要採用新的資料結構來實現。下面就開始介紹如何採用二叉堆(binary heap)來實現優先順序佇列

二叉堆

二叉堆是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即子結點的鍵值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。 有了這一性質，那麼二叉堆上最大值就是根節點了。

二叉堆的表現形式：我們可以使用陣列的索引來表示元素在二叉堆中的位置。

從二叉堆中，我們可以得出：

· 元素k的父節點所在的位置為[k/2]

· 元素k的子節點所在的位置為2k和2k+1

跟據以上規則，我們可以使用二維陣列的索引來表示二叉堆。通過二叉堆，我們可以實現插入和刪除最大值都達到O(nlogn)的時間複雜度。

對於堆來說，最大元素已經位於根節點，那麼刪除操作就是移除並返回根節點元素，這時候二叉堆就需要重新排列；當插入新的元素的時候，也需要重新排列二叉堆以滿足二叉堆的定義。現在就來看這兩種操作。

從下至上的重新建堆操作: 如果一個節點的值大於其父節點的值，那麼該節點就需要上移，一直到滿足該節點大於其兩個子節點，而小於其根節點為止，從而達到使整個堆實現二叉堆的要求。

由上圖可以看到，我們只需要將該元素k和其父元素k/2進行比較，如果比父元素大，則交換，然後迭代，一直到比父元素小為止。

private static void Swim(int k)
{
    //如果元素比其父元素大，則交換
    while (k > 1 && pq[k].CompareTo(pq[k / 2]) > 0)
    {
        Swap(pq, k, k / 2);
        k = k / 2;
    }
}

這樣，往堆中插入新元素的操作變成了，將該元素從下往上重新建堆操作：

程式碼實現如下：

public static void Insert(T s)
{
    //將元素新增到陣列末尾
    pq[++N] = s;
    //然後讓該元素從下至上重建堆
    Swim(N);
}

動畫如下：

由上至下的重新建堆操作：當某一節點比其子節點要小的時候，就違反了二叉堆的定義，需要和其子節點進行交換以重新建堆，直到該節點都大於其子節點為止：

程式碼實現如下:

private static void Sink(int k)
{
    while (2 * k < N)
    {
        int j = 2 * k;
        //去左右子節點中，稍大的那個元素做比較
        if (pq[j].CompareTo(pq[j + 1]) < 0) j++;
        //如果父節點比這個較大的元素還大，表示滿足要求，退出
        if (pq[k].CompareTo(pq[j]) > 0) break;
        //否則，與子節點進行交換
        Swap(pq, k, j);
        k = j;
    }
}

這樣，移除並返回最大元素操作DelMax可以變為：

1. 移除二叉堆根節點元素，並返回

2. 將陣列中最後一個元素放到根節點位置

3. 然後對新的根節點元素進行Sink操作，直到滿足二叉堆要求。

移除最大值並返回的操作如下圖所示：

以上操作的實現如下：

public static T DelMax()
{
    //根元素從1開始，0不存放值
    T max = pq[1];
    //將最後一個元素和根節點元素進行交換
    Swap(pq, 1, N--);
    //對根節點從上至下重新建堆
    Sink(1);
    //將最後一個元素置為空
    pq[N + 1] = default(T);
    return max;
}

動畫如下：

三 堆排序

概念

運用二叉堆的性質，可以利用它來進行一種就地排序，該排序的步驟為：

1. 使用序列的所有元素，建立一個最大堆。

2. 然後重複刪除最大元素。

如下圖，以對S O R T E X A M P L E 排序為例，首先本地構造一個最大堆，即對節點進行Sink操作，使其符合二叉堆的性質。

然後再重複刪除根節點，也就是最大的元素，操作方法與之前的二叉堆的刪除元素類似。

建立最大二叉堆：

使用至下而上的方法建立二叉堆的方法為，分別對葉子結點的上一級節點以重上之下的方式重建堆。

程式碼如下：

for (int k = N / 2; k >= 1; k--)
{
    Sink(pq, k, N);
}

排序

利用二叉堆排序其實就是迴圈移除頂部元素到陣列末尾，然後利用Sink重建堆的操作。如下圖，實現程式碼如下：

while (N > 1)
{
    Swap(pq, 1, N--);
    Sink(pq, 1, N);
}

堆排序的動畫如下：

分析

1. 在構建最大堆的時候，最多需要2N次比較和交換

2. 堆排序最多需要2NlgN次比較和交換操作

優點：堆排序最顯著的優點是，他是就地排序，並且其最壞情況下時間複雜度為NlogN。經典的合併排序不是就地排序，它需要線性長度的額外空間，而快速排序其最壞時間複雜度為N²

缺點：堆排序對時間和空間都進行了優化，但是：

1. 其內部迴圈要比快速排序要長。

2. 並且其操作在N和N/2之間進行比較和交換，當陣列長度比較大的時候，對CPU快取利用效率比較低。

3. 非穩定性排序。

四 排序演算法的小結

本文及前面文章介紹了選擇排序，插入排序，希爾排序，合併排序，快速排序以及本文介紹的堆排序。各排序的穩定性，平均，最壞，最好的時間複雜度如下表：

可以看到，不同的排序方法有不同的特徵，有的速度快，但是不穩定，有的穩定，但是不是就地排序，有的是就地排序，但是最壞情況下時間複雜度不好。那麼有沒有一種排序能夠集合以上所有的需求呢?

五 結語

本文介紹了二叉堆，以及基於二叉堆的堆排序，他是一種就地的非穩定排序，其最好和平均時間複雜度和快速排序相當，但是最壞情況下的時間複雜度要優於快速排序。但是由於他對元素的操作通常在N和N/2之間進行，所以對於大的序列來說，兩個運算元之間間隔比較遠，對CPU快取利用不太好，故速度沒有快速排序快。

轉載自：https://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Priority-Queue-And-Heap-Sort.html