二叉堆

本系列文章主要介紹常用的演算法和資料結構的知識，記錄的是《Algorithms I/II》課程的內容，採用的是“演算法（第4版）”這本紅寶書作為學習教材的，語言是java。這本書的名氣我不用多說吧？豆瓣評分9.4，我自己也認為是極好的學習演算法的書籍。

通過這系列文章，可以加深對資料結構和基本演算法的理解（個人認為比學校講的清晰多了），並加深對java的理解。

之前我們已經介紹了優先佇列的基本內容，現在來看看用二叉堆實現優先佇列吧。

1 二叉堆的定義

堆是一個完全二叉樹結構（除了最底下一層，其他層全是完全平衡的），如果每個結點都大於它的兩個孩子，那麼這個堆是有序的。

二叉堆是一組能夠用堆有序的完全二叉樹排序的元素，並在陣列中按照層級儲存（不用陣列的第一個位置）

2 二叉堆的性質

• 最大的元素在a[1] (root結點)
• 每個k的父親在k/2
• 每個k的孩子在k*2和k*2+1

3 二叉堆的操作

3.1 上浮（孩子大於父親）——對應插入操作

迴圈，每次比較自己和父親，如果比父親大就交換，直到root。

3.2 插入

先把元素加入陣列的最後一個位置，然後進行上浮到正確位置

3.3 下沉（父親小於兒子）——對應刪除操作

迴圈，每次比較自己和兩個孩子，如果比孩子小就交換，如果比兩個孩子都小，就交換到兩個裡面較大的一個。直到葉子。

3.4 刪除最大元素

先把根元素與最後一個元素交換，刪除最後一個元素，然後從根開始下沉到正確位置。

4 二叉堆優先佇列程式碼

/**
 *
 * @author rocky
 */
public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {

    private Key[] pq;
    private int N;

    public MaxPQ(int capacity) {
        pq = (Key[]) new Comparable[capacity + 1];
    }

    public
 
 boolean isEmpty() {
        return N == 0;
    }

    public void insert(Key key)
    {      
        N++; 
        pq[N] = key;
        swim(N);
    }

    public Key delMax() {
        Key max = pq[1];  //get the max element
        exch(1, N);     //exchange between the root and the last element
        N--;   
        sink(1);   //sink to the right place
        pq[N+1] = null;   //delete
        return max;
    }

    private void swim(int k)
    {
        while(k > 1 && less(k/2, k))
        {
            exch(k, k/2);
            k /= 2;
        }

    }

    private void sink(int k) {
        while(k*2 <= N)    //if this node has left child 
        {
            int child = k * 2;   
            if (child < N && less(child, child + 1)) {  //if the left child is less than the right child
                child = child + 1;   //change child to the right child
            }
            if (less(k, child)) {
                exch(k, child);
            }
            k = child;
        }
    }

    private boolean less(int i, int j) {
        return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
    }

    private void exch(int i, int j) {
        Key t = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = t;
    }
}

5 二叉堆擴充套件

5.1 不可變性

我們演算法的前提是使用者不會改變佇列的元素，如果使用者能改變佇列的元素，那麼佇列成立的條件就會破壞。
不可變的資料型別，就是說一個例項一旦建立，就不可以改變。java裡很多型別都是不可變的。

這有很多好處，但是壞處就是如果你需要改變值必須要新建一個物件。