從0開始的圖形學大師

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第5章 線性代數

大學知識。

三維行列式為平行六面體體積，體積為零，共面，線性相關。

特徵向量不相等為正交。對稱矩陣特徵值是實數。

第6章 矩陣變換

##6.1 基本二維變換

• 縮放

$[\begin{array}{c}{s}_{}\end{array}$

x 0 0 s

y ] \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix}

• 切變

$[$

1 s 水 平 s 垂 直 1 ] \begin{bmatrix} 1&s_{水平}\\ s_{垂直}&1 \end{bmatrix}

圓在這時候會變換成橢圓

對切變的另一種解釋是，相對垂直軸(水平軸)做旋轉。
$\begin{bmatrix} 1&tan\phi_{垂直軸}\\ tan\phi_{水平軸}&1 \end{bmatrix}$

• 旋轉(預設逆時針)

$\begin{bmatrix} cos\phi&-sin\phi\\ sin\phi&cos\phi \end{bmatrix}$

旋轉矩陣是正交矩陣

• 反射

$Y軸反射 \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} X軸反射 \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}$

• 二維變換組合與分解

組合沒啥好說的，就是矩陣相乘。

分解（旋轉-縮放-旋轉）就是奇異值分解

分解（多個切變）沒說，在光柵旋轉時很有用。

6.2 基本三維變換

###6.2.1 任意三維旋轉

如果想繞任意向量a進行旋轉，可以先構造一個正交基w=a，把這個正交基旋轉到標準基，然後繞z軸進行旋轉，然後再把標準基旋轉回uvw基。

###6.2.2 法向量變換

法向量經過與曲面上的點相同的M變換後，可能不再與變換後的表面垂直。

因此法向量的變換不同於平面的變換。

經過推導p103，我們知道法向量的變換 $N = (m^{-1})^T$

其實就是矩陣餘子式不轉置。（經常不轉置的我-，-）

##6.3 平移（視窗變換）

我們可以用高維的矩陣實現低維矩陣相同的變換

視窗變換可以用三次矩陣相乘

6.4 變換矩陣的逆

介紹了幾何方法求逆

6.5 座標變換

我們可以把點的變換變為座標系的變換

第7章 觀察

7.1 繪製標準視體

繪製2d標準視體進行的變換（為了適應畫素點而做的視窗變換）,我們把畫素擴充套件成為一個1x1x1的立方體。
$$
\begin{bmatrix}

1&0&\frac{n_x-1}{2}\
0&1&\frac{n_y-1}{2}\
0&0&1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{n_x}{2}&0&0\
0&\frac{n_y}{2}&0\
0&0&1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{n_x}{2}&0&\frac{n_x-1}{2}\
0&\frac{n_y}{2}&\frac{n_y-1}{2}\
0&0&1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{n_x}{2}&0&0&\frac{n_x-1}{2}\
0&\frac{n_y}{2}&0&\frac{n_y-1}{2}\
0&0&1&0\
0&0&0&1

\end{bmatrix}
$$

7.2 正射投影

繪製3d標準視體進行的變換（相當於三維視窗變換）
$$
\begin{bmatrix}

\frac{2}{r-l}&0&0&0\
0&\frac{2}{t-b}&0&0\
0&0&\frac{2}{n-f}&0\
0&0&0&1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1&0&0&-\frac{l+r}{2}\
0&1&0&-\frac{b+t}{2}\
0&0&1&-\frac{n+f}{2}\
0&0&0&1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

\frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{l+r}{2}\
0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{b+t}{2}\
0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{2}\
0&0&0&1

\end{bmatrix}
$為了在正視投影（即xy平面）中畫投影，我們把7.1和7.2得到的矩陣合併。$
M_0 =
\begin{bmatrix}

\frac{D-d}{A-a}&0&0&\frac{dA-Da}{A-a}\
0&\frac{E-e}{B-b}&0&\frac{eB-Eb}{B-b}\
0&0&\frac{F-f}{C-c}&\frac{fC-Fc}{C-c}\
0&0&0&1

\end{bmatrix}
$$

compute M0
for each line segment(ai,bi) do
	p = M0ai
	q = M0bi
	drawline(xp,yp,xq,yq)

7.3 透視投影

這時我們要用到之前的第4維座標，因為需要x,y中除z。實現的效果是把z=f上的點投影到與z=n一樣大小的平面，而z=n上的點不變。

我們給出結論，變換矩陣為：
$M_p = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&\frac{n+f}{n}&-f\\ 0&0&\frac{1}{n}&0 \end{bmatrix}$
我們光看矩陣不知道有啥特點。我們試驗一下效果。
$$
M_p
\begin{bmatrix}
x\y\z\1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x\y\z\frac{n+f}{n}-f\\frac{z}{n}
\end{bmatrix}
\underrightarrow{齊次化}
\begin{bmatrix}
\frac{nx}{z}\ \frac{ny}{z}\n+f-\frac{fn}{z}\1
\end{bmatrix}
$$
我們把[x,y,z,1]換成[x,y,n,1]，其次化結果還是[x,y,n,1]，說明z=n上的點沒有受到影響；我們把[x,y,z,1]換成[x,y,f,1]，其次化結果是[nx/f,ny/f,f,1]，說明z=f上的點被縮放了n/f倍；我們自然可以得出n<z<f上的點會縮放n/z倍；

由於齊次化可以消去任意常數，所以 $M_p$可以乘以n。
$M_p = \begin{bmatrix} n&amp;0&amp;0&amp;0\\ 0&amp;n&amp;0&amp;0\\ 0&amp;0&amp;n+f&amp;-nf\\ 0&amp;0&amp;1&amp;0 \end{bmatrix}$
最終的 $M = M_oM_pM_v$