導數的應用和曲線的凹凸性：

導數的應用：

這塊為大家介紹一下導數的應用，導數可以判斷一個函式的單調區間，也可以判斷函式的凹凸性。

函式的單調性：

這張圖上介紹了導數的第一個應用，用導數判斷一個函式的單調性非常容易，就是滿足以上條件 y=f（x）這個函式求導，如果他的導數大於0那麼他就單調遞增，反之單調遞減。

圖中有些專業術語我們好像不熟悉了，我來回顧下：

1.  開區間（）：在一個指定的範圍內不包含兩邊的端點元素的話就是開區間

2.  閉區間 [] ：在一個指定的範圍內包含兩邊的端點元素的話就是閉區間

開元閉方，閉包開不包（開區間用圓括號表示，閉區間用方括號表示，閉區間包含端點，開區間不包括）

舉個栗子：

在這個圖中我們就可以通過呼叫一階導來判斷這個函式的單調性，首先把公式求導：

求導得 : 

接下來我們很容易就能看出y的取值正負了

當  < x < 1 的時候，把它代入導數化簡的公式裡面，最後 , 所以在這個區間上是遞增

當 1 < x < 2 的時候，把它代入導數化簡的公式裡面，最後  , 所以在這個區間上是遞減

當 2 < x < 的時候，把它代入導數化簡的公式裡面，最後 , 所以在這個區間上是遞增

因此我們通過求出導數的取值正負就可以得出這個函式的單調區間，為正則遞增，為負遞減。

曲線的凹凸性：

首先我們大概理解下什麼是凹凸性，凹凸性救贖描述一個曲線彎曲程度的東東，具體怎麼描述，咱們來看一下：

在這個圖中我們給出了兩條函式線，第一個叫下凸，也叫上凹；第二個叫上凸也叫下凹，在這裡我們應該通過以上的公式來判斷凹凸：

1.  第一個公式中     如果這個不等式成立的話就說明這個函式線上的(x1,f(x1))和(x2,f(x2))兩點間的中點小於這兩點函式間的中點，那麼就說明這個函式是下凸的。

2.  第二個公式中    不等式成立就說明他是上凸。

不過這種方法雖然能判斷，但是好像判斷起來很不實用，接下來咱們就安利一下二階導數的應用了：

在這裡我們如果想要判斷一個函式在一個區間內的凹凸性的話，直接對他求二階導就好啦，二階導大於0那就是凹的，反之就是凸的，在這裡我們有的時候可能不明白為什麼x1要等於0 ，x2等於 2/3，這是因為如果我們想要對這個函式求導，那麼他都是趨近0的，所以我們要找到y的0點，所以我們把只要能讓y=0的x值都帶進去就可以啦。因此我們得出結論：

在這個圖中我們又發現了利用這個方法也能求出一個函式的拐點：

1.  拐點：拐點就是在一個函式線上凹線和凸線的交界處。

2.  當二階導數大於0的時候函式是凹，因為二階導數大於0的時候他沒有最大值，但是有最小值所以他是凹的。

3.  當二階導數小於0的時候函式是凸，因為這時候他沒有最小值，但是有最大值所以他凸。

4.  當二階導數等於0的時候他可能是拐點，因為拐點一定是二階導數等於0的點。

在圖中，我們發現了這個函式等於0的時候正好是拐點了，所以我們得出結論，拐點一定是二階導數等於0的點，但是我們同時要注意，拐點一定是二階導數的0點，但二階導數等於0的點不一定是拐點：

如果我們想要判斷拐點應該怎麼做呢，舉個栗子：

在這個栗子中，我們先求他的二階導，然後轉換成多項式，我們發現二階導等於0的只有x = 2，代入我們來判斷他的區間，首先我們把這個二階導以x=2為0點分為兩個區間，當的時候他有最小值所以是凹的，當的時候他有最大值所以是凸的，結合這兩個區間我們發現兩邊的區間凹凸性不同所以，x=2這個點是他的拐點：

1.  判斷拐點首先要求二階導

2.  然後判斷二階導等於0時，兩邊函式線的凹凸性

3.  如果兩邊的凹凸性相同那麼他就不是拐點，如果凹凸性不行就是拐點

（在BB一遍：滿足條件時二階導大於0他就是凹的，小於0是凸的）

在這裡結果給出了一個圖表，第二行是二階導的結果，第三行是通過二階導對函式得出的結論。

導數的應用2（求函式的極值和最值）：

1.  極值就是函式中一個區間內的最大值或最小值

2.  最值就是整個函式中的最大值和最小值

在這個圖中介紹了極值的概念，我們來分析一下極值的定義：

1.  極值是在不分割槽間內的最大點或者最小點

2.  圖中所說函式在的鄰域 內有定義，並且時，這個是前提條件

3.  那麼如果  ，這時候說明  這個點在這個區間內是最大值，因為在這個區間任意一個都小於，這時候直接就可以稱：為的一個“極大值”

4.  如果  ，這時候說明  這個點在這個區間內是最大值，因為在這個區間任意一個都大於，這時候直接就可以稱：為的一個“極小值”

（好像說些廢話）

圖中有個符號在回顧一下 ：

這個函式描述的是 U 把它想象成一個集合，後面的括號，括號中第一個元素x0，把它想象成一箇中點，後面的  把他想象成半徑，那麼就是U區間內x0為中點，為左右兩邊的長度這麼一個鄰域區間。如果U上面有個句號，那麼就是去中心區間，這個區間內不包含中心點x0

駐點：

接下來在引入一個概念，駐點，他就是對於可導函式的極值點就是駐點，駐點=0

極值存在的充分條件：

總結1：

一次BB了這麼多正常情況肯定已經蒙圈了，小弟來做個總結：

1.  一階導數可以判斷函式的單調性 ：

    ①：如果函式   在區間內可導，那麼如果他的導數在這個區間內大於0 ，則 在這個區間內單調遞增

    ②：如果函式   在區間內可導，那麼如果他的導數在這個區間內小於0 ，則 在這個區間內單調遞減

2.  二階導數可以判斷函式的凹凸性及拐點 ：

    ①：如果函式  在區間內有二階導數，那麼當  時， 在這個區間內圖形是凹的

    ②：如果函式  在區間內有二階導數，那麼當  時， 在這個區間內圖形是凸的

    ③：拐點的定義：(1) 拐點一定會二階導數等於0的點

                                 (2) 二階導數不存在的也可能是拐點

3.  極值 ：在函式上點的某個鄰域有定義，如果這個點使函式在該區間是最大值或者最小值就叫極大值或極小值（極值是指函式上一個區間內的最大值和最小值，最值是整個函式範圍的，他們兩個範圍不同）

4.  最值 ：在函式上如果使該函式處於最大值或最小值就是最值（最值是整個函式範圍的，他們兩個範圍不同）

5.  駐點 ：如果  在極值點  處可導，這時候導數如果等於 0 就是駐點了。

本章介紹完了，以後如果有了新的體會小弟再來更新