影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在影象中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在影象中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬訊號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函式轉換為一系列周期函式來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將影象的灰度分佈函式變換為影象的頻率分佈函式，傅立葉逆變換是將影象的頻率分佈函式變換為灰度分佈函式。

這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，影象的能量分佈，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分佈是以原點為圓心，對稱分佈的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分佈以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分佈的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的訊號，最多隻能有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度範圍）

X[]陣列又分兩種，一種是表示餘弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]，Re是實數(Real)的意思，Im是虛數(Imagine)的意思，採用複數的表示方法把正餘弦波組合起來進行表示，但這裡我們不考慮複數的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便於表達（在後面我們會知道，複數形式的傅立葉變換長度是N，而不是N/2+1）。

用Matlab實現快速傅立葉變換

FFT是離散傅立葉變換的快速演算法，可以將一個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。 
雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是卻不知道FFT之後的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。 
現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬訊號，經過ADC取樣之後，就變成了數字訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍，這些我就不在此囉嗦了。 
取樣得到的數字訊號，就可以做FFT變換了。N個取樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。 
假設取樣頻率為Fs，訊號頻率F，取樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為Fs/N，如果取樣頻率Fs為1024Hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果取樣2秒時間的訊號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和取樣時間是倒數關係。 
假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的訊號的表示式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為A1/N。由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於取樣頻率一半的結果。 
下面以一個實際的訊號來做說明。假設我們有一個訊號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流訊號，以及一個頻率（f0）為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流訊號。用數學表示式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos引數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的訊號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的資料拿上來細看： 
1點： 512+0i 
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 
51點：332.55 - 192i 
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 
76點：3.4315E-12 + 192i 
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下： 
1點： 512 
51點：384 
76點：192 
按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz訊號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz訊號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。 
然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz訊號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz訊號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出訊號的表示式了，它就是我們開始提供的訊號。

總結：假設取樣頻率為Fs，取樣點數為N，做FFT之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。相位的計算可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要取樣長度為1/x秒的訊號，並做FFT。要提高頻率解析度，就需要增加取樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是取樣比較短時間的訊號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。

附貼上上述例子的matlab程式：

Matlab的例子（一）

t=0:1/256:1;%取樣步長

y= 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180);

N=length(t); %樣點個數

plot(t,y);

fs=256;%取樣頻率

df=fs/(N-1) ;%解析度

f=(0:N-1)*df;%其中每點的頻率

Y=fft(y)/N*2;%真實的幅值

%Y=fftshift(Y);

figure(2)

plot(f,abs(Y));

由於以上程式是結合傅立葉演算法轉換得到的對稱圖，而常用的只需要一半就可以了。對應的程式如下：

t=0:1/256:1;%取樣步長

y= 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180);

N=length(t); %樣點個數

plot(t,y);

fs=256;%取樣頻率

df=fs/(N-1);%解析度

f=(0:N-1)*df;%其中每點的頻率

Y=fft(y(1:N))/N*2;%真實的幅值

%Y=fftshift(Y);

figure(2)

plot(f(1:N/2),abs(Y(1:N/2)));

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