任務安排（SDOI2012）斜率優化進階

題目描述

$N$ 個任務排成一個序列在一臺機器上等待完成（順序不得改變），這 $N$ 個任務被分成若干批，每批包含相鄰的若干任務。從時刻 $0$

0

開始，這些任務被分批加工，第

i

個任務單獨完成所需的時間是

T_i

。在每批任務開始前，機器需要啟動時間S，而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和（同一批任務將在同一時刻完成）。每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數

C_i

。
請確定一個分組方案，使得總費用最小。

資料規模

$1$

≤ N ≤ 3 ∗ 1 0 5 0 ≤ S , C ≤ 512 − 512 ≤ T ≤ 512 1≤N≤3*10^5 0≤S,C≤512 -512≤T≤512

1 \leq N \leq 3 * 1 0^{5} 0 \leq S, C \leq 512 - 512 \leq T \leq 512

思路

首先，這還是個很明顯的劃分類 $DP$ 。
直接上狀態： $f[i][j]$ 表示前i個任務分成j批的最小代價。
易得 $f[i][j] = min{f[k][j - 1] + (j * s + sum_T[i]) * (sum_C[i] - sum_C[k])}$
但是這個狀態已經是 $O(n^2)$ 級別的了
/-----------華---------麗-----------麗---------的-----------分---------割---------線-----------/
然後，我們會發現限制狀態的最大因素就是 $j$ 。
整個轉移中唯一與j有關的就是 $“j * s”$
因此，我們是否可以想辦法將它去掉呢？
考慮在第i個任務結束後重新分一組，那麼對第 $i + 1$ ~ $n$ 個任務的影響就是加上了 $(sum_C[n] - sum_C[i]) * s$
那麼，我們就可以將j這維狀態直接去掉
狀態就變成了： $f[i]$ 表示前i個任務的最小代價
轉移： $f[i] = min{f[i] , f[j] + (sum_C[i] - sum_C[j]) * (s + sum_T[i])} + (sum_C[n] - sum_C[i]) * s$

-----------華---------麗-----------麗---------的-----------分---------割---------線-----------

然後，我們又發現，這是個非常經典的 $1D/1D$ 動態規劃
顯然是無法通過 $30W$ 級別的資料。
考慮優化，對於一道一維狀態的 $DP$ 題，優化方向依然只有一個——轉移。
（否則把狀態優化了不就成了貪心嗎？）
如何減少重複或不必要的列舉呢？
設 $1 ≤ j1 < j2 < i$
則對於 $i$ 的決策， $j_2$ 比 $j_1$ 優等價於滿足
$f[j_2] + (sum_C[i] - sum_C[j_2]) * (s + sum_T[i]) <$
$f[j_1] + (sum_C[i] - sum_C[j_1]) * (s + sum_T[i])$
簡單的開啟並整理過後就得到了
$(f[j_2]-f[j_1]) - s * (sum_C[j_2] - sum_C[j_1])$

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