前言

斜率優化\(DP\)是難倒我很久的一個演算法，我花了很長時間都難以理解。後來，經過無數次的研究加以對一些例題的理解，總算啃下了這根硬骨頭。

基本式子

斜率優化\(DP\)的式子略有些複雜，大致可以表示成這樣：

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}(A(j)-B(j)*S(i)+C(i))\]

其中\(A(j)\)和\(B(j)\)是兩個只與\(j\)有關的函式，\(S(i)\)和\(C(i)\)是兩個只與\(i\)有關的函式，式子中的\(min\)其實也可以替換成\(max\)，但這裡以\(min\)為例。

不難發現，如果只有\(A(j)\)和\(C(i)\)兩項，就是

但是，由於式子中含有\(B(j)*S(i)\)這一項既與\(i\)相關，又與\(j\)相關的式子，就不能直接用單調佇列，而要進行一定轉化了。

考慮將\(A(j)\)移到等號左邊，並將\(f_i\)移到等號右邊，則原式可以轉化成這樣：

\[A(j)=B(j)*S(i)+(f_i-C(i))\]

注意，在\(i\)不變的時候，我們可以將只與\(i\)有關的項看成常數項。

於是，這個函式就可以看作一條直線，其中\(S(i)\)就相當於這條直線的斜率，而\(f_i-C(i)\)就相當於這條直線的截距。

而\(C(i)\)是固定的，因此，如果要讓\(f_i\)

那麼應如何讓截距最小呢？

大致思路

首先，我們可以想象有一條斜率固定的直線（我太懶，不想畫圖... ...），然後圖上有若干個點，現在要用這條直線從圖的最下方往上慢慢移動，直至碰到第一個點，而這個點就是我們要找的最優點。

則不難發現，如果連續的三個點呈上凸狀，則無論該直線斜率取多少，碰到的第一個點都不可能是中間這個點。

換句話說，就是中間這個點對答案沒有任何貢獻了。

於是就有一個策略：當我們要加入一個新的點時，比較當前點與前一個插入的點\(S_1\)、前一個插入的點與倒數第二個插入的點的斜率\(S_2\)，如果\(S_1\le S_2\)

重複此操作，直至\(S_1>S_2\)或圖上只剩一個點，然後將當前點插入。

如何求最優解

但是，這樣一來，我們好像還是沒能求出最優解。

此時又有兩種操作方式：在凸包上二分或單調佇列維護最優解。

對於某些問題，它可以確保決策單調性，即一個點如果當前不是最優解，則以後都不可能是最優解了。這樣的問題可以直接用單調佇列來維護最優解。

但有些問題卻不一定滿足這種性質，此時就需要在凸包上二分最優解了，但依然需要用單調佇列來維護點集。

所以，如果你不會單調佇列，最好趕緊去研究一下，然後再學習斜率優化\(DP\)。

幾道例題

第一道例題： 【BZOJ2726】[SDOI2012] 任務安排

聽說是入門題？洛谷上的弱化版可以直接單調佇列維護，但是\(BZOJ\)上存在負數，需要在凸包上二分。

第二道例題： 【CF311B】Cats Transport

一眼看上去像是\(WQS\)二分，其實題意轉換後可以直接斜率優化。

第三道例題： 【洛谷3648】[APIO2014] 序列分割

一開始覺得是區間\(DP\)，結果一看資料範圍，推了波性質，才發現其實可以用斜率優化\(DP\)來做。