前言

數位$DP$ 真的是最噁心的$DP$。

簡介

看到那種給你兩個數，讓你求這兩個數之間符合條件的數的個數，且這兩個數非常大，這樣的題目一般就是 數位$DP$ 題。

數位$DP$一般都用於計數。

具體實現

數位$DP$有兩種實現方法：$DP$預處理+亂搞求答案以及記憶化搜尋。

個人感覺用記憶化搜尋來實現要比較容易一些（第一種做法我是真的不會）。

數位$DP$在求解的過程中運用了字首和的思想，即要求$l\sim r$範圍內的解的個數，就相當於用$0\sim r$範圍內的解的個數減去$0\sim l-1$範圍內解的個數即可。

模板

貼一波記憶化搜尋

class Class_DigitalDP//數位DP（記憶化搜尋實現）
{
	private:
		#define Size 15//如果是int範圍內，數字長度不會超過15，這個Size要視題目而定
		int len,num[Size],f[Size][10];//len儲存數字長度，num記錄數字的每一位，f則用於記憶化
		inline void Init(LL x) {len=0;while(x) num[++len]=x%10,x/=10;num[len+1]=0;}//初始化，將x這個數字按位儲存下來
		inline int dfs(int x,int s,int flag)//x記錄剩餘的位數，s記錄當前的狀態，flag記錄當前是否肯定在求解的範圍內（0表示不一定，1表示一定）
 

		{
			register int i,lim=9,w=0;//w用於統計答案
			if(!x) return OK(s);//如果剩餘位數為0，就判斷當前狀態是否滿足條件，並退出函式
			if(flag&&~f[x][s]) return f[x][s];//如果當前狀態肯定在求解範圍內，且已訪問並求解過當前狀態，就返回曾經求解出的答案
			if(!flag) (Right(num[x])&&(w+=dfs(x-1,GetStatus(s,num[x]),0),0),lim=num[x]-1;//如果不保證在求解範圍內，則對這一位上的最大值單獨處理，並仍不能保證在求解範圍內
 

			for(i=0;i<=lim;++i) if(Right(i)) w+=dfs(x-1,GetStatus(s,i),1);//列舉每一個數字，如果這個數字符合條件，就繼續搜尋
			if(flag) f[x][s]=w;//如果當前狀態肯定在求解的範圍內，就將求解出的答案記錄下來，實現記憶化
			return w;//返回答案
		}
	public:
		Class_DigitalDP() {for(register int i=0,j;i<Size;++i) for(j=0;j<9;++j) f[i][j]=-1;}//初始化f陣列為-1
		inline int GetAns(int x) {return (void)(Init(x)),dfs(len,0,0);}//將這個數按位儲存下來，然後記憶化搜尋求解
}DigitalDP;

幾道例題

照常貼幾道例題：

一道二進位制的數位$DP$，可以發現用$DP$預處理得到的是一個楊輝三角形… …

比較經典的數位$DP$題，關鍵在於要判前導$0$。

應該是這幾道題裡我唯一一道寫記憶化搜尋的，需要加上一點噁心的數學轉化。