第十二天學習精要

遞迴初步

遞迴

• 一個函式，自己呼叫自己，就是遞迴。

# include <iostream>
using namespace std;
int  factorial(int n)	// 函式返回n的階乘
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;	// 終止條件
	}
	else
	{
		return n * factorial(n - 1);
	}
	return 0;
}
int main()
{
	cout << factorial(5) << endl;
}

• 遞迴函式需要有終止條件，否則就會無窮遞迴導致程式無法終止甚至崩潰

  。

• 求斐波那契數列第 n 項

# include <iostream>
using namespace std;
int Fibonacci(int n)
{
	if (n < 3)
		return 1;
	else 
		return Fibonacci(n - 1) +Fibonacci(n - 2);
}
int main()
{
	cout << Fibonacci(7) << endl;
}

位運算

基本概念

• 位運算：用於對整數型別（int，char，long 等）變數中的某一位(bit)，或者若干位進行操作

  。
  • 判斷某一位是否為1。
  • 只改變其中某一位，而保持其他位都不變。

• C/C++語言提供了六種位運算子來進行位運算操作：

  • &：按位與(雙目)。
  • |：按位或(雙目)。
  • ^：按位異或(雙目)。
  • ~：按位非(取反)(單目)。
  • <<：左移(雙目)。
  • >>：右移(雙目)。

按位與 “&”

• 將參與運算的兩運算元各對應的二進位制位進行與操作，只有對應的兩個二進位均為1時，結果的對應二進位制位才為1，否則為0。

• 例如：表示式“21 & 18 ” 的計算結果是16(即二進位制數10000)，因為：

  • 21 用二進位制表示就是：
    0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0101
  • 18 用二進位制表示就是:
    0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010
  • 二者按位與所得結果是：
    0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000

• 通常用來將某變數中的某些位清0且同時保留其他位不變，也可以用來獲取某變數中的某一位。

按位或 “|”

• 將參與運算的兩運算元各對應的二進位制位進行或操作，只有對應的兩個二進位都為0時，結果的對應二進位制位才是0，否則為1。

• 例如：表示式“21 | 18 ” 的值是23，因為：

  • 21： 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0101
  • 18： 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010
  • 21|18: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0111

• 按位或運算通常用來將某變數中的某些位置1且保留其他位不變。

按位異或 “^”

• 將參與運算的兩運算元各對應的二進位制位進行異或操作，即只有對應的兩個二進位不相同時，結果的對應二進位制位才是1，否則為0。

• 例如：表示式“21 ^ 18 ” 的值是7(即二進位制數111)。

  • 21：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0101
  • 18：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0010
  • 21^18：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111

• 按位異或運算通常用來將某變數中的某些位取反，且保留其他位不變。

• 異或運算的特點是：如果 a ^ b = c，那麼就有 c ^ b = a以及c ^ a = b。 (窮舉法可證)，此規律可以用來進行最簡單的加密和解密。

• 異或運算還能實現不通過臨時變數，就能交換兩個變數的值：

  • int a = 5, b = 7;
  • a = a ^ b;
  • b = b ^ a;
  • a = a ^ b;
  • 即實現a,b值交換。
  • 窮舉法可證。

按位非 “~”

• 按位非運算子“~” 是單目運算子。

• 其功能是將運算元中的二進位制位0變成1，1變成0。

左移運算子 “<<”

• 表示式：a << b的值是：將a各二進位全部左移b位後得到的值。左移時，高位丟棄，低位補0。 a 的值不因運算而改變。

• 例如：9 << 4

  • 9的二進位制形式：
    0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
  • 因此，表示式“9<<4” 的值，就是將上面的二進位制數左移4位，得：
    0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001 0000
  • 即為十進位制的144。

• 實際上，左移1位，就等於是乘以2，左移n位，就等於是乘以 $2^n$。而左移操作比乘法操作快得多。

右移運算子 “>>”

• 表示式：a >> b的值是：將a各二進位全部右移b位後得到的值。右移時，移出最右邊
  的位就被丟棄。 a 的值不因運算而改變。

• 對於有符號數，如long，int，short，char型別變數，在右移時，符號位（即最高位）將一起移動，並且大多數C/C++編譯器規定，如果原符號位為1，則右移時高位就補充1，原符號位為0，則右移時高位就補充0。

• 實際上，右移n位，就相當於左運算元除以2n，並且將結果往小裡取整。

  • -25 >> 4 = -2
  • -2 >> 4 = -1
  • 18 >> 4 = 1

思考題

• 有兩個int型的變數a和n(0 <= n <= 31)，要求寫一個表示式，使該表示式的值和a的第n位相同。
  • ( a >> n ) & 1
  • (a & (1 << n )) >> n