1.前言

若偏微分方程複雜或邊界條件不規則時，則方程難以求得解析解，不得不求滿足近似程度要求的近似解。變分法是常用的近似方法之一，而且，變分法的原理和應用遍及物理學的各個領域。所謂變分法即為泛函的極值問題。

2.泛函與泛函的極值

2.1 泛函的概念

最速落徑問題,如圖所示。A、B兩點不在同一鉛垂線，也不在同一高度。一質點在重力作用下無磨擦沿某曲線從A滑到B，求下滑的最短時間。或沿哪條曲線用時最短。

我們知道，質點下落速率與下落高度間的關係為：

所以

即T稱為y(x)的泛函。

y(x)可取的函式種類，稱泛函的定義域,泛函是函式的函式（不指複合函式）。

一般地， C是函式的集合， B是實數（或複數）的集合，若對於C中的任一稱元素y(x) ，在B中均有一元素J與之對應，則稱J為y(x) 的泛函是函式。

記為：

與通常函式的定義不同，泛函的值決定於函式的取形。如上例中，T的變化決定於y(x)的變化，而非某一個自變數x的值進而某一個函式y的值。而是決定於函式集合C中的函式關係，即決定於函式的取形。

通常，泛函多以積分形式出現

，如：

其中，F(x,y,y`)稱為泛函的核。

2.2泛函的極值與變分

在泛函的概念下，最速落徑問題歸結為泛函T[y(x)]的極值問題，所謂變分法,就是求泛函的極值問題。研究泛函極值問題的方法歸為兩類：直接法與間接法。要討論間接法，先討論泛函的變分問題。

設有連續函式y(x)，將其微小變形為y(x)+tn(x)。

其中t是一個小引數，tn(x)稱為y(x)的變分，記為δy。

此時，函式y`(x)相應變形為：

導數的變分等於變分的導數,變分微分運算可交換次序

。

設中F(x,y,y`)二階可導，y``連續！如果函式y(x)存在變分δy時，泛函J的變化為：

相對於y、y’作Tayler展開，抵消t的0次項，保留t的1次項，略去t的高階項。

可得：

上式稱泛函 J [y（x）]第一次變分！！！簡稱變分，記為：

3.泛函極值的必要條件——尤拉方程

設泛函 J [y（x）]的極值問題有解，記為y = y(x)；現在來推導此解y（x）滿足的常微分方程。

設y=y（x）有變分δy=tn(x)， 則

可視為t的函式。

表示為：

這樣，就把原來的泛函的極值問題轉變成這種普通函式的極值問題。 

令：

即：

將代入上式，得：

即：

同乘t 得：

泛函取極值的必要條件是其變分為0，或者說，泛函J的極值函式y(x)必須是滿足泛函的變分dJ=0的函式類。所以泛函的極值問題稱為變分問題。

又因為：

根據分部積分公式可以知道：

在簡單變分問題中，端點是固定的：

所以可以得到：

這就是變分學中大名鼎鼎的“尤拉-朗格朗日條件”！！！

尤拉(Euler)方程是泛函有極值的必要條件。

4.經典最速落徑問題求解

根據引言一節，最速路徑問題用泛函描述為：

解：由於 尤拉方程變形為 ：

提取公共部分，可得：

簡化為：

代入原方程，得：

求出偏導數得：

通分，並取平方可得

取.y(1+y`*y`)=c1,得：

令代入上式可得：

因此，我們就可以得到擺線得引數方程：

常數c1 、c2由A、B位置決定。

5.參考資料

1.錢偉長. 變分法及有限元[M]. 科學出版社, 1980.

2.郭大鈞. 非線性泛函分析-第2版[M]. 山東科學技術出版社, 2001.