資料結構- 串的模式匹配演算法 BF和 KMP演算法
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Brute-Force演算法的思想
1．BF(Brute-Force)演算法
Brute-Force演算法的基本思想是：
1) 從目標串s 的第一個字元起和模式串t的第一個字元進行比較，若相等，則繼續逐個比較後續字元，否則從串s 的第二個字元起再重新和串t進行比較。
2) 依此類推，直至串t 中的每個字元依次和串s的一個連續的字元序列相等，則稱模式匹配成功，此時串t的第一個字元在串s 中的位置就是t 在s中的位置，否則模式匹配不成功。
Brute-Force演算法的實現
c語言實現：
// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include 2．KMP演算法
2.1 演算法思想：每當一趟匹配過程中出現字元比較不等時，不需要回溯I指標，而是利用已經的帶的“部分匹配”的結果將模式向右滑動儘可能遠的一段距離後，繼續進行比較。
即儘量利用已經部分匹配的結果資訊，儘量讓i不要回溯，加快模式串的滑動速度。
需要討論兩個問題：
①如何由當前部分匹配結果確定模式向右滑動的新比較起點k？
② 模式應該向右滑多遠才是高效率的?
現在討論一般情況:
假設 主串：s: ‘s(1) s(2) s(3) ……s(n)’ ; 模式串 ：p: ‘p(1) p(2) p(3)…..p(m)’
現在我們假設 主串第i個字元與模式串的第j(j<=m)個字元‘失配’後，主串第i個字元與模式串的第k(k<j)個字元繼續比較。
此時，s(i)≠p(j)：
由此，我們得到關係式：即得到到1 到 j -1 的"部分匹配"結果:
‘P(1) P(2) P(3)…..P(j-1)’ = ’ S(i-j+1)……S(i-1)’
從而推匯出k 到 j- 1位的“部分匹配”：即P的j-1～j-k＝S前i-1～i- (k -1))位
‘P(j - k + 1) …..P(j-1)’ = ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’
由於s(i)≠p(j)，接下來s(i)將與p(k)繼續比較，則模式串中的前(k-1)個字元的子串必須滿足下列關係式，並且不可能存在 k’>k 滿足下列關係式：(k<j)
有關係式： 即(P的前k- 1 ~ 1位＝ S前i-1～i-(k-1) )位 ) ,：
‘P(1) P(2) P(3)…..P(k-1)’ = ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’
現在我們把前面總結的關係綜合一下,有：
由上，我們得到關係：
‘p(1) p(2) p(3)…..p(k-1)’ = ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’
根據模式串P的規律： ‘p(1) p(2) p(3)…..p(k-1)’ = ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’
由當前失配位置j(已知) ，可以歸納計算新起點k的表達式。
由此定義可推出下列模式串next函式值：
模式匹配過程:
KMP演算法的實現:
第一步，先把模式T所有可能的失配點j所對應的next[j]計算出來；
第二步：執行定位函式Index_kmp（與BF演算法模組非常相似）
int KMPindex(SString S, SString T, int pos){ if (pos <1 || pos > S[0] ) exit(ERROR); int i = pos, j =1; while (i<= S[0] && j <= T[0]) { if (S[i] == T[j]) { ++i; ++j; } else { j = next[j+1]; } } if(j > T[0]) return i - T[0]; return ERROR;}完整實現程式碼：
// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include <iostream>using namespace std;//巨集定義 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define OK 1 #define ERROR 0 #define MAXSTRLEN 100typedef char SString[MAXSTRLEN + 1];void GetNext(SString T, int next[]);int KMPindex(SString S, SString T, int pos);/************************************************************************//* 返回子串T在主串S中第pos位置之後的位置，若不存在，返回0*//************************************************************************/int KMPindex(SString S, SString T, int pos){ if (pos <1 || pos > S[0] ) exit(ERROR); int i = pos, j =1; int next[MAXSTRLEN]; GetNext( T, next); while (i<= S[0] && j <= T[0]) { if (S[i] == T[j]) { ++i; ++j; } else { j = next[j]; } } if(j > T[0]) return i - T[0]; return ERROR;}/************************************************************************//* 求子串next[i]值的演算法*//************************************************************************/void GetNext(SString T, int next[]){ int j = 1, k = 0; next[1] = 0; while(j < T[0]){ if(k == 0 || T[j]==T[k]) { ++j; ++k; next[j] = k; } else { k = next[k]; } }}void main(){ SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'}; SString T = {5,'a','b','c','a','c'}; int pos; pos = KMPindex( S, T, 1); cout<<"Pos:"<<pos;}k值僅取決於模式串本身而與相匹配的主串無關。
我們使用遞推到方式求next函式：
1）由定義可知：
next[1] = 0;
2) 設 next[j] = k ,這個表面在模式串中存在下列關係：
‘P(1) ….. P(k-1)’ = ‘P(j - k + 1) ….. P(j-1)’
其中k為滿足1< k <j的某個值，並且不可能存在k` > 滿足:
‘P(1) ….. P(k`-1)’ = ‘P(j - k` + 1) ….. P(j-1)’
此時next[j+1] = ?可能有兩種情況：
（1） 若Pk = Pj，則表明在模式串中：
‘P(1) ….. P(k)’ = ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’
並且不可能存在k` > 滿足： ‘P(1) ….. P(k`)’ = ‘P(j - k` + 1) ….. P(j)’
即next[j+1] = k + 1 推到=》：
next[j+1] = next[j] + 1;
(2) 若Pk
Pj 則表明在模式串中：
‘P(1) ….. P(k)’ ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’
此時可把next函式值的問題看成是一個模式匹配的問題，整個模式串即是主串又是模式串，
而當前匹配的過程中，已有：
Pj-k+1 = P1， Pj-k+2 = P2，... Pj-1 = Pk-1.
則當PkPj時應將模式向右滑動至以模式中的第next[k]個字元和主串中的第 j 個字元相比較。
若next[k] = k`,且Pj= Pk`, 則說明在主串中的第j+1 個字元之前存在一個長度為k` (即next[k])的最長子串，和模式串
從首字元其長度為看k`的子串箱等。即
‘P(1) ….. P(k`)’ = ‘P(j - k` + 1) ….. P(j)’
也就是說next[j+1] = k` +1 即
next[j+1] = next[k] + 1
同理，若Pj Pk` ,則將模式繼續向右滑動直至將模式串中的第next[k`]個字元和Pj對齊，
... ,一次類推，直至Pj和模式中某個字元匹配成功或者不存在k`(1< k` < j)滿足，則:
next[j+1] =1;
/************************************************************************//* 求子串next[i]值的演算法*//************************************************************************/void GetNext(SString T, int next[]){ int j = 1, k = 0; next[1] = 0; while(j < T[0]){ if(k == 0 || T[j]==T[k]) { ++j; ++k; next[j] = k; } else { k = next[k]; } }}注意：
（1）k值僅取決於模式串本身而與相匹配的主串無關。
（2）k值為模式串從頭向後及從j向前的兩部分的最大相同子串的長度。
（3）這裡的兩部分子串可以有部分重疊的字元，但不可以全部重疊。
next[j]函式表徵著模式P中最大相同字首子串和字尾子串（真子串）的長度。
可見，模式中相似部分越多，則next[j]函式越大，它既表示模式T字元之間的相關度越高，也表示j位置以前與主串部分匹配的字元數越多。
即：next[j]越大，模式串向右滑動得越遠，與主串進行比較的次數越少，時間複雜度就越低（時間效率）。
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