圖的遍歷 - 資料結構
阿新 • • 發佈：2018-11-14
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概述
圖的遍歷是指從圖中的任一頂點出發，對圖中的所有頂點訪問一次且只訪問一次。圖的遍歷操作和樹的遍歷操作功能相似。圖的遍歷是圖的一種基本操作，圖的其它演算法如求解圖的連通性問題，拓撲排序，求關鍵路徑等都是建立在遍歷演算法的基礎之上。
① 在圖結構中，沒有一個“自然”的首結點，圖中任意一個頂點都可作為第一個被訪問的結點。
② 在非連通圖中，從一個頂點出發，只能夠訪問它所在的連通分量上的所有頂點，因此，還需考慮如何選取下一個出發點以訪問圖中其餘的連通分量。
③ 在圖結構中，如果有迴路存在，那麼一個頂點被訪問之後，有可能沿迴路又回到該頂點。
④ 在圖結構中，一個頂點可以和其它多個頂點相連，當這樣的頂點訪問過後，存在如何選取下一個要訪問的頂點的問題。
圖的遍歷通常有深度優先搜尋和廣度優先搜尋兩種方式，他們對無向圖和有向圖都適用。
1.深度優先搜尋
深度優先搜尋（Depth_Fisrst Search）遍歷類似於樹的先根遍歷，是樹的先根遍歷的推廣。
假設初始狀態是圖中所有頂點未曾被訪問，則深度優先搜尋可從圖中某個頂點發v 出發，訪問此頂點，然後依次從v 的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v 有路徑相通的頂點都被訪問到；若此時圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重複上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。
以如下圖的無向圖G5為例，進行圖的深度優先搜尋：
G5
搜尋過程：
假設從頂點v1 出發進行搜尋，在訪問了頂點v1 之後，選擇鄰接點v2。因為v2 未曾訪問，則從v2 出發進行搜尋。依次類推，接著從v4 、v8 、v5 出發進行搜尋。在訪問了v5 之後，由於v5 的鄰接點都已被訪問，則搜尋回到v8。由於同樣的理由，搜尋繼續回到v4，v2 直至v1，此時由於v1 的另一個鄰接點未被訪問，則搜尋又從v1 到v3，再繼續進行下去由此，得到的頂點訪問序列為：
顯然，這是一個遞迴的過程。為了在遍歷過程中便於區分頂點是否已被訪問，需附設訪問標誌陣列visited[0:n-1], ，其初值為FALSE ，一旦某個頂點被訪問，則其相應的分量置為TRUE。
1）鄰接矩陣的儲存方式實現：
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include "targetver.h"#include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include <iostream>using namespace std;//巨集定義 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 陣列表示：鄰接矩陣資料結構*//************************************************************************/typedef struct ArcCell{ VrType adj; //頂點關係型別，對無權圖，0/1表示是否相鄰，有權圖表示權值 ArcCell *info; //弧相關資訊的指標}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{ VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //頂點向量 AdjMatrix arcs; //鄰接矩陣 int vexnum,arcnum; //圖的當前頂點數和弧數}MGraph;// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //訪問標識Status (*VisitFunc) (int v); //函式變數/************************************************************************//* 確定頂點v在圖G的位置*//************************************************************************/int LocateVex(MGraph G,VertexType v){ for(int i = 0; i<G.vexnum; ++i) { if(G.vexs[i] == v) return i;//找到 } return -1;//不存在}/************************************************************************//* *//************************************************************************/int FirstAdjVex(MGraph G,int v){ int i ; for(i = 0; i<G.vexnum; i++) if( G.arcs[v][i].adj ) return i; if(i == (G.vexnum -1)) return -1; return -1; }int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w){ int i; for( i = w+1; i<G.vexnum; i++)//+1 if(G.arcs[v][i].adj) return i; if(i == (G.vexnum -1)) return -1; return -1;}/************************************************************************//* 鄰接矩陣的無向圖的建立: 註釋的程式碼可以動態生成圖。*//************************************************************************/void CreatUDG(MGraph &G){ cout<<"建立鄰接矩陣的無向圖："<<endl; int i,j,k,w; //G5的儲存： G.arcnum = 8; G.vexnum = 9; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL; } G.vexs[0] = '1'; G.vexs[1] = '2'; G.vexs[2] = '3'; G.vexs[3] = '4'; G.vexs[4] = '5'; G.vexs[5] = '6'; G.vexs[6] = '7'; G.vexs[7] = '8'; G.arcs[0][1].adj = 1; G.arcs[0][1].info = NULL; G.arcs[1][0].adj = 1; G.arcs[1][0].info = NULL; G.arcs[1][3].adj = 1; G.arcs[1][3].info = NULL; G.arcs[3][1].adj = 1; G.arcs[3][1].info = NULL; G.arcs[3][7].adj = 1; G.arcs[3][7].info = NULL; G.arcs[7][3].adj = 1; G.arcs[7][3].info = NULL; G.arcs[7][4].adj = 1; G.arcs[7][4].info = NULL; G.arcs[4][7].adj = 1; G.arcs[4][7].info = NULL; G.arcs[4][1].adj = 1; G.arcs[4][1].info = NULL; G.arcs[1][4].adj = 1; G.arcs[1][4].info = NULL; G.arcs[0][2].adj = 1; G.arcs[0][2].info = NULL; G.arcs[2][0].adj = 1; G.arcs[2][0].info = NULL; G.arcs[2][5].adj = 1; G.arcs[2][5].info = NULL; G.arcs[5][2].adj = 1; G.arcs[5][2].info = NULL; G.arcs[5][6].adj = 1; G.arcs[5][6].info = NULL; G.arcs[6][5].adj = 1; G.arcs[6][5].info = NULL; G.arcs[6][2].adj = 1; G.arcs[6][2].info = NULL; G.arcs[2][6].adj = 1; G.arcs[2][6].info = NULL; return ; /* char v1,v2; cout<<"請輸入無向圖頂點個數和邊數:"<<endl; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; cout<<"請輸入"<<G.vexnum<<"個頂點的值:"<<endl; for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i]; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL; } for( k=1;k<=G.arcnum;++k){ cout<<"請輸入第"<<k<<"條邊的兩個頂點值和它們的權重："<<endl; cin>>v1>>v2>>w; i = LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j].adj=w; G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j]; } */}/************************************************************************//* 有向圖鄰接矩陣的建立*//************************************************************************/void CreatDG(MGraph &G){ int i,j,k,w; char v1,v2; G.arcnum = 8; G.vexnum = 9; cout<<"請輸入有向圖頂點個數和邊數:"; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"請輸入"<<G.vexnum<<"個頂點的值:"<<endl; for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i]; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj = 0; G.arcs[i][j].info = NULL; } for( k=1;k<=G.arcnum;++k){ cout<<"請輸入第"<<k<<"條邊的兩個頂點值和它們的權重："<<endl; cin>>v1>>v2>>w; i= LocateVex(G,v1); j = LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j].adj = w; }}void visitVex(MGraph G, int v){ cout<<G.vexs[v]<<" ";}/************************************************************************//* 以V為出發點對圖G 進行遞迴地DFS 搜尋*//************************************************************************/void DFS(MGraph G,int v){ visited[v] = true; visitVex( G, v); //訪問第v 個頂點 for(int w = FirstAdjVex(G,v); w>=0; w = NextAdjVex(G,v,w)){ if(!visited[w]) DFS(G,w); //w未訪問過，遞迴DFS搜尋 }}/************************************************************************//* 無向圖的深度遍歷 *//************************************************************************/void DFSTraverse(MGraph G){// int v; for( v = 0; v < G.vexnum; ++v) visited[v] = false; for( v = 0; v < G.vexnum; ) if(!visited[v]) DFS( G, v); //v未訪問過，從vi開始DFS搜尋 ++v;//不要像書上寫的那樣，++v放到for語句，這樣會導致多出一次訪問}void printMGraph(MGraph G){ cout<<"鄰接矩陣已經建立，鄰接矩陣為："<<endl; for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ for(int j=0;j<G.vexnum;j++) cout<<G.arcs[i][j].adj<<" "; cout<<endl; }}void main(){ MGraph G; CreatUDG(G); printMGraph(G); cout<<"無向圖鄰接矩陣的深度遍歷結果："<<endl; DFSTraverse(G);}2） 鄰接表的表示實現方式
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include "targetver.h"#include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include <iostream>using namespace std;//巨集定義 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 鄰接表示的圖資料結構*//************************************************************************///定義邊結點，即表節點typedef struct ArcNode { int adjvex; //弧所指的頂點位置 ArcNode *nextarc; //指向下一條弧的指標}ArcNode;//定義頂點節點，即頭節點typedef struct VNode { VertexType data; //頂點資訊 ArcNode *firstarc; //指向第一條依附該頂點的弧的指標}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//定義無向圖 typedef struct { AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //圖的當前頂點數和弧數}ALGraph;// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //訪問標識Status (*VisitFunc) (int v); //函式變數/************************************************************************//* 在無向圖中新增以m,n為頂點的邊*//************************************************************************/void ArcAdd(ALGraph &G,int m,int n){ ArcNode *p,*h,*q; p = new ArcNode; p->adjvex = m; p->nextarc = NULL; h = q = G.vertices[n].firstarc; if(q == NULL) G.vertices[n].firstarc = p; else { if((p->adjvex)>(q->adjvex)){ p->nextarc = q; G.vertices[n].firstarc = p; } else { while( G.vertices[n].firstarc != NULL && q->nextarc != NULL && (p->adjvex)<(q->adjvex)){ //使鄰接表中邊的資料按大到小排列。 h = q; q = q->nextarc; } if(q->nextarc == NULL&&(p->adjvex)<(q->adjvex)){ q->nextarc = p; } else { p->nextarc = q; h->nextarc = p; } } }}/************************************************************************//*建立無向圖*//************************************************************************/void CreateDG(ALGraph &G){ cout<<"請輸入頂點個數和邊數："<<endl; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"請輸入頂點值:"<<endl; for(int i= 1; i<= G.vexnum; i++) { char t; cin>>t; G.vertices[i].data = t; G.vertices[i].firstarc = NULL; } int m, n; for(int k = 1; k<=G.arcnum; k++){ cout<<"請輸入第"<<k<<"條邊的兩個頂點:"<<endl; cin>>m>>n; if(m<= G.vexnum && n <= G.vexnum && m>0 && n>0){ ArcAdd(G, m, n); ArcAdd(G, n, m); } else cout<<"ERROR."<<endl; }}/************************************************************************//* 列印鄰接表的無向圖 *//************************************************************************/void PrintGraph(ALGraph G) { cout<<"無向圖的建立完成,該圖的鄰接表表示為:"<<endl; ArcNode *p; for(int i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(G.vertices[i].firstarc == NULL) cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->NULL"<<endl; else { p = G.vertices[i].firstarc; cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->"; while(p->nextarc!=NULL) { cout<<p->adjvex<<"-->"; p = p->nextarc; } cout<<p->adjvex<<"-->NULL"<<endl; } }}/************************************************************************//* 返回v的第一個鄰接頂點。若頂點在G中沒有鄰接表頂點，則返回“空”。 *//************************************************************************/int FirstAdjVex(ALGraph G,int v){ if(G.vertices[v].firstarc) return G.vertices[v].firstarc->adjvex; else return NULL;}/************************************************************************//* 返回v的（相對於w的）下一個鄰接頂點。若w是v的最後一個鄰接點，則返回“回”。*//************************************************************************/int NextAdjVex(ALGraph G,int v,int w) { ArcNode *p; if(G.vertices[v].firstarc==NULL) return NULL; else { p = G.vertices[v].firstarc; while(p->adjvex!=w) p = p->nextarc; if(p->nextarc == NULL) return NULL; else return p->nextarc->adjvex; }}void visitVex(ALGraph G, int v){ cout<<G.vertices[v].data<<" ";}/************************************************************************//* 無向圖的深度遍歷 *//************************************************************************///從第v個頂點出發遞迴地深度優先遍歷圖Gvoid DFS(ALGraph G,int v){ visited[v] = true; visitVex(G, v); for(int w = FirstAdjVex(G,v);w >= 1; w = NextAdjVex(G,v,w)) if(!visited[w]) DFS(G,w);}//對圖G作深度優先遍歷void DFSTraverse(ALGraph G){ for(int v = 1; v <= G.vexnum; v++) visited[v]=false; for(int m = 1; m <= G.vexnum; m++) if(!visited[m]) DFS(G,m);}void main(){ ALGraph G; CreateDG(G); PrintGraph(G); DFSTraverse(G);}
分析上述演算法，在遍歷時，對圖中每個頂點至多呼叫一次DFS 函式，因為一旦某個頂點被標誌成已被訪問，就不再從它出發進行搜尋。因此，遍歷圖的過程實質上是對每個頂點查詢其鄰接點的過程。其耗費的時間則取決於所採用的儲存結構。當用二維陣列表示鄰接矩陣圖的儲存結構時，查詢每個頂點的鄰接點所需時間為O(n2) ，其中n 為圖中頂點數。而當以鄰接表作圖的儲存結構時，找鄰接點所需時間為O(e)，其中e 為無向圖中邊的數或有向圖中弧的數。由此，當以鄰接表作儲存結構時，深度優先搜尋遍歷圖的時間複雜度為O(n+e) 。
2.廣度優先搜尋
廣度優先搜尋（Breadth_First Search） 遍歷類似於樹的按層次遍歷的過程。假設從圖中某頂點v 出發，在訪問了v 之後依次訪問v 的各個未曾訪問過和鄰接點，然後分別從這些鄰接點出發依次訪問它們的鄰接點，並使“先被訪問的頂點的鄰接點”先於“後被訪問的頂點的鄰接點”被訪問，直至圖中所有已被訪問的頂點的鄰接點都被訪問到。若此時圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重複上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。換句話說，廣度優先搜尋遍歷圖的過程中以v 為起始點，由近至遠，依次訪問和v 有路徑相通且路徑長度為1,2,…的頂點。
對圖如下圖所示無向圖G5 進行廣度優先搜尋遍歷：
廣度搜索過程：
首先訪問v1 和v1 的鄰接點v2 和v3，然後依次訪問v2 的鄰接點v4 和v5 及v3 的鄰接點v6 和v7，最後訪問v4 的鄰接點v8。由於這些頂點的鄰接點均已被訪問，並且圖中所有頂點都被訪問，由些完成了圖的遍歷。得到的頂點訪問序列為：
和深度優先搜尋類似，在遍歷的過程中也需要一個訪問標誌陣列。並且，為了順次訪問路徑長度為2、3、…的頂點，需附設佇列以儲存已被訪問的路徑長度為1、2、… 的頂點。
實現：
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include <stdio.h> #include "stdlib.h"// func.h :#pragma once#include <iostream>using namespace std;//巨集定義 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 鄰接表示的圖資料結構*//************************************************************************///定義邊結點typedef struct ArcNode { int adjvex; //弧所指的頂點位置 ArcNode *nextarc; //指向下一條弧的指標}ArcNode;//定義頂點結點typedef struct VNode { VertexType data; //頂點資訊 ArcNode *firstarc; //指向第一條依附該頂點的弧的指標}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//定義無向圖 typedef struct { AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //圖的當前頂點數和弧數}ALGraph;/************************************************************************//* 需要 *//************************************************************************/typedef struct node //定義結點{ char data; node *next;}*Link;typedef struct //定義連結串列{ Link head,tail; int len;}Queue;/************************************************************************//* 構造一個帶頭結點和尾結點的空的線性連結串列佇列Q*//************************************************************************/Status InitQueue(Queue &Q){ Q.head = new node; Q.head->next = Q.tail = new node; Q.tail->next = NULL; Q.len = 0; return 0;}/************************************************************************//* //線上性連結串列的佇列L的結尾新增一個結點*//************************************************************************/ void EnQueue(Queue &Q,int e){ Link q = new node; Q.tail->next = q; Q.tail->data = e; Q.tail = q; Q.tail->next = NULL; Q.len++;}/************************************************************************//* 出列，並將出列的元素值用e返回*//************************************************************************/void DeleteQueue(Queue &Q,int &e){ if(Q.head->next == Q.tail) { cout<<"佇列為空"<<endl; e = NULL; } else { Link p,q; p = Q.head->next; q = p->next; Q.head->next = q; e = p->data; delete p; Q.len--; }}// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include "func.h"bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //訪問標識Status (*VisitFunc) (int v); //函式變數/************************************************************************//* 在無向圖中新增以m,n為頂點的邊*//************************************************************************/void ArcAdd(ALGraph &G,int m,int n){ ArcNode *p,*h,*q; p = new ArcNode; p->adjvex = m; p->nextarc = NULL; h = q = G.vertices[n].firstarc; if(q == NULL) G.vertices[n].firstarc = p; else { if((p->adjvex)>(q->adjvex)){ p->nextarc = q; G.vertices[n].firstarc = p; } else { while( G.vertices[n].firstarc != NULL && q->nextarc != NULL && (p->adjvex)<(q->adjvex)){ //使鄰接表中邊的資料按大到小排列。 h = q; q = q->nextarc; } if(q->nextarc == NULL&&(p->adjvex)<(q->adjvex)){ q->nextarc = p; } else { p->nextarc = q; h->nextarc = p; } } }}/************************************************************************//*建立無向圖*//************************************************************************/void CreateDG(ALGraph &G){ cout<<"請輸入頂點個數和邊數："<<endl; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"請輸入頂點值:"<<endl; for(int i= 1; i<= G.vexnum; i++) { char t; cin>>t; G.vertices[i].data = t; G.vertices[i].firstarc = NULL; } int m, n; for(int k = 1; k<=G.arcnum; k++){ cout<<"請輸入第"<<k<<"條邊的兩個頂點:"<<endl; cin>>m>>n; if(m<= G.vexnum && n <= G.vexnum && m>0 && n>0){ ArcAdd(G, m, n); ArcAdd(G, n, m); } else cout<<"ERROR."<<endl; }}/************************************************************************//* 列印鄰接表的無向圖 *//************************************************************************/void PrintGraph(ALGraph G) { cout<<"無向圖的建立完成,該圖的鄰接表表示為:"<<endl; ArcNode *p; for(int i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(G.vertices[i].firstarc == NULL) cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->NULL"<<endl; else { p = G.vertices[i].firstarc; cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->"; while(p->nextarc!=NULL) { cout<<p->adjvex<<"-->"; p = p->nextarc; } cout<<p->adjvex<<"-->NULL"<<endl; } }}/************************************************************************//* 返回v的第一個鄰接頂點。若頂點在G中沒有鄰接表頂點，則返回“空”。 *//************************************************************************/int FirstAdjVex(ALGraph G,int v){ if(G.vertices[v].firstarc) return G.vertices[v].firstarc->adjvex; else return NULL;}/************************************************************************//* 返回v的（相對於w的）下一個鄰接頂點。若w是v的最後一個鄰接點，則返回“回”。*//************************************************************************/int NextAdjVex(ALGraph G,int v,int w) { ArcNode *p; if(G.vertices[v].firstarc==NULL) return NULL; else { p = G.vertices[v].firstarc; while(p->adjvex!=w) p = p->nextarc; if(p->nextarc == NULL) return NULL; else return p->nextarc->adjvex; }}void visitVex(ALGraph G, int v){ cout<<G.vertices[v].data<<" ";}/************************************************************************//* 廣度優先遍歷圖G*//************************************************************************/void BFSTraverse(ALGraph G){ Queue Q; int u; for(int m=1; m<= G.vexnum; m++) visited[m] = false; InitQueue(Q);//藉助輔助佇列。 for(int v=1;v<=G.vexnum;v++) if(!visited[v]) { visited[v]=true; visitVex(G,v); EnQueue(Q,v); while(Q.len!=0) { DeleteQueue(Q,u); for(int w=FirstAdjVex(G,u);w>=1;w=NextAdjVex(G,u,w)) if(!visited[w]) { visited[w]=true; visitVex(G,v); EnQueue(Q,w); } } } cout<<endl;}void main(){ ALGraph G; CreateDG(G); PrintGraph(G); cout<<"廣度優先搜尋的結果為:"<<endl; BFSTraverse(G);}分析上述演算法，每個頂點至多進一次佇列。遍歷圖的過程實質是通過邊或弧找鄰接點的過程，因此廣度優先搜尋遍歷圖的時間複雜度和深度優先搜尋遍歷相同，兩者不同之處僅僅在於對頂點訪問的順序不同。
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