中國剩餘定理&擴充套件中國剩餘定理

NOIP考完回機房填坑

 ◌ 中國剩餘定理

處理一類相較擴充套件中國剩餘定理更特殊的問題：

在這裡要求 對於任意i,j(i≠j)，gcd(m_i,m_j)=1 （就是互素）

不互素的話就只能用擴充套件演算法了……這也是中國剩餘定理與其擴充套件演算法的主要區別。

另外 中國剩餘定理 和 擴充套件中國剩餘定理 似乎沒有什麼關係，除了解決的問題比較相似，所以我就分開講了。

▫演算法

舉一個比較常用的例子（出自《九章算術》），求正整數x滿足：

先計算 3,5,7 的最小公倍數為 105

再計算出所謂的基礎數：

mod 3: 105/3=35 >> 35 mod 3 = 2 （因為35模3本來就餘2，就不需要操作） >> 基礎數是35

mod 5: 105/5=21 >> 21 mod 5 = 1 （1*3=3，所以需要乘3）>> 21*3 mod 5 = 3 >> 基礎數為 21*3=63

mod 7: 105/7=15 >> 15 mod 7 = 1 （1*2=2，所以需要乘2）>> 15*2 mod 7 = 2 >> 基礎數為 15*2=30

這3個基礎數加起來得到 sum=35+63+30=128

然後模 3,5,7 的最小公倍數就得到答案 ans=128 mod 105=23

▫證明

（背的結論……記不住具體證法，簡單證明一下正確性）

 可以知道的是：對於帶餘除法 "a / b = c ... d"，存在 "(ax) / b = (cx+dx/b) ... (dx mod b)"，自己可以舉幾個例子感性理解一下。

對於集合（元素都互質）A={ a₁,a₂...a_n } 的最小公倍數lcm，lcm/a_i 一定是A中除a_i以外的元素的倍數。如果 lcm/a_i mod a_i = k_i ，而且題目是 求出的數mod a_i = r_i ，如果問題有解，那麼一定存在整數 p ，使得(k_i

另外一個性質：如果 x₁,x₂,...,x_n 被 a 整除，而 x_n+1 mod a = k ，那麼 (x₁+x₂+...+x_n+1) mod a = k。

那麼我們現在將 a₁~a_n 的基礎數都加起來得到 sum，一定滿足 sum mod a_i = r_i ，即已經符合題目要求。但是如果我們要求最小的數，我們可以取模 lcm ，因為 lcm mod ai = 0，所有模一個lcm不會影響到題目要求。

◌ 擴充套件中國剩餘定理

解決的問題很相似，只是沒有互質的要求。但是依據的演算法就完全不一樣了。

▫ 證明

個人覺得比中國剩餘定理好理解，但是建議先弄懂擴充套件歐幾里得

先只考慮2個元素，即求x：

得到一個奇怪的等式——

再轉換一下：

令 

等式兩邊同時除以 gcd，得到 ：

然後將它轉換為模運算的形式：

然後因為模運算不能作除法，我們定義：

接下來就可以轉換模運算了：

再轉回普通運算：

根據一開始的：

可以得到：

代回去，再移下項：

化簡一下式子：

所以就會發現：

OK……證畢！

The End

Thanks for reading!