（所有^為次方）

尤拉定理：

a^phi(m)=1 (mod m)   ( gcd(a,m)=1 )

設1到m中與m互質的數為

x1, x2, x3, ……x phi(m)

令pi=xi*a

引理一：p之間兩兩模m不同餘，x之間兩兩模m不同於

x兩兩模m不同樣因為都小於等於m，一眼看出

反證：若pi-pj=0（mod m）（i≠j） ，則a（xi – xj）=0 （mod m）

gcd（a，m）=1，則 xi – xj = 0 （mod m），矛盾

所以p之間兩兩模m不同餘

引理二：每個p模m的結果與m互質

反證：若a*xi = km + r ,gcd(r,m)>1

則   a*xi – km = r 根據擴充套件歐幾里得，gcd（a，m）=1

則最後解出來的x要乘上r，與gcd（x，m）互質矛盾

所以每個p模m的結果與m互質

由這兩個引理

∏pi = xi （mod m） ->  ( a^phi(m) )*∏xi = ∏xi (mod m)

gcd( ∏xi, m ) = 1 ->   a^phi(m) = 1 ( mod m )

擴充套件尤拉定理：

a^c = { a^( c%phi(m) ) ,               gcd( a,m) =1

              a^c ,                                   gcd( a,m )≠1，c<phi(m)

              a^( c%phi(m) + phi(m) ),      gcd( a,m )≠1,  c>=phi(m)

         }

1. a^c=a^( c%phi(m) ) ,                  gcd( a,m) =1

這個由尤拉定理可知，在mod m 意義下，

a^phi(m)=1, a^0 =1  ->  a^x 以phi(m)為迴圈節

2. a^c=a^c ,                              gcd( a,m )≠1，c<phi(m)

不用證

3. a^c=a^( c%phi(m) + phi(m) ),         gcd( a,m )≠1,  c>=phi(m)

首先證明對m的一個質數因子p

有p^c = p^( c%phi(m) +phi(m) ) (mod m)  , c>phi(m)

令 m= s * p^r , gcd(s,p)=1

有p^phi(s) = 1 (mod s) ,又gcd(s,p) =1

則phi(m) = phi(s) * phi(p^r)  ->  phi(s) | phi(m)

則p^phi(m) =1 (mod s)  -> p^phi(m) = k*s +1;

兩邊同乘p^r, p^( phi(m) +r ) = k*m + p^r

即p^( phi(m) + r ) = p^r (mod m ) -> p^r = p^( k*phi(m) +r ) ( mod m ) (k>=0)

顯然有 phi(m) = phi(s)* phi(p^r) >= phi(p^r) = (p^(r-1) )*(p-1)>=p^(r-1) >= r

所以有 p^c = p ^( c-r + r) = p^(c-r + r+phi(m) ) =p^( c+phi(m) ) ,  c>=r

則 p^c = p^(c%phi(m) + phi(m) )  ( mod m ) , c>=phi(m)

則對於p的冪也一樣有

(p^k)^c = p^(k*c) = p^(phi(m) +k*c ) = p^(k*phi(m) + k*c) = (p^k)^( c+phi(m) )

= ( p^k )^(c%phi(m) + phi(m) )   (mod m) ,         c>=phi(m), k>0

令a=∏pi^ki，則對於每一個pi^ki 都滿足上述式子，則相乘後

有 a^c = a^( c%phi(m) + phi(m) )   (mod m), c>=phi(m)

證畢

基本上是看https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/80693756 這個blog的，加了中間的一些解釋和過程