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• 作者：鄒祁峰
• 郵箱：[email protected]
• 部落格：http://blog.csdn.net/qifengzou
• 日期：2014.04.13
• 轉載請註明來自"
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1. 引言

  關於B的性質、結構定義、插入操作的處理和相關程式碼可以參考《演算法導論 之 B樹 - 建立、插入》一文，而本文主要是講解B樹刪除操作的處理過程。在B樹的插入操作過程中需要進行結點“分裂”處理，而刪除操作正好相反，其需要進行結點“合併”處理，但是它們的共同目的是一致的 —— 維護B樹的特徵。

  一棵m階的B樹，或為空樹，或為滿足下列特徵的m叉樹：

    1) 樹中每個結點至多有m棵子樹；

    2) 若根結點不是終端結點，則至少有2棵子樹；

    3) 除根之外，所有非終端結點至少有

棵子樹；

    4) 所有的非終端結點中包含下列資訊資料:

[n, C0, K0, C1, K1, C2, K2, ...., Kn-1, Cn]

        其中：Ki[i=0,1，...，n-1]為關鍵字，且Ki<Ki+1[i=0, 1, ..., n-2]；Ci[i=0,1,...,n]為至上子樹根結點的指標，且指標Ci所指子樹中所有結點的關鍵字均小於Ki[i=0,1,...,n-1]，但都大於Ki-1[i=1,...,n-1]；

    5) 所有葉子結點均處在同一層。

2. 處理流程

2.1 刪除流程

  假設現有一棵m階的B樹，則單個結點的關鍵字最大個數max=m-1，關鍵字最小個數min= 。假設被刪關鍵字key為結點node中的第idx個關鍵字，由B樹的特徵可知，在刪除操作之前，結點node的關鍵字個數num需滿足min <= num <= max）。

  情況1：被刪關鍵字KEY所在結點node為非最底層結點時

    Step1：找到被刪關鍵字KEY在結點node中的位置idx —— 即：node->key[idx]為將被刪除的關鍵字

    Step2：找到以子結點child = node->child[idx]為根節點的子樹

    Step3：再找到該子樹中的最大關鍵字KEY2，並將之拿去填充被刪關鍵字KEY的位置，即：node->key[idx] = KEY2。 —— 子樹最大關鍵字MaxKey被拿走後，相當於子樹最大關鍵字的原位置被空缺了出來，也可在一定意義上理解為最終刪除的子樹中的最大關鍵字。

    經過思考後可發現：以子結點child = node->child[idx]為根節點的子樹中最大關鍵字一定是在最底層某個結點中，不管要求被刪的關鍵字KEY在哪個結點，均可視為最終被刪的關鍵字都是在最底層結點中，而最底層結點的處理請參考2）的處理流程。

  情況2：被刪關鍵字KEY所在結點node為最底層結點時

    2.1) 刪除操作前，結點node的關鍵字個數num>時，則進行刪除操作後，結點node關鍵字個數num仍然處在min <= num <= max的範圍之中，此時刪除操作處理完成;

    2.2) 刪除操作前，結點node的關鍵字個數num=時，則進行刪除操作後，結點node的關鍵字個數num<，顯然已經不符合B樹的特徵，為了維護B樹的特徵，此時需要進行的處理有2種情況：

    ->2.2.1) 如果結點node的兄弟結點brother的結點個數num>時，則結點node可以向brother借用一個結點，但是需要以父結點的關鍵字為跳板，此時刪除操作處理完成;

    ->2.2.2) 如果結點node的兄弟結點brother的節點個數num=時，則將node和brother進行合併為一個結點new，同時需要將父結點parent中夾在node和brother之間的關鍵字插入到新結點new中。如果父結點parent中的一個關鍵字被插入到了新結點後，父結點parent的關鍵字個數num>=，則刪除操作處理完成; 如果父結點parent的關鍵字個數num<，則父結點parent此時已經不滿足B樹特徵，則需以父結點為操作物件進行2.2）中的情況判斷，並依次類推直至根結點。

2.2 圖形解說

  假設現有階m=3的B樹，其初始結構如圖1所示，可知：單個結點最大關鍵字個數max = m-1 = 2，最小關鍵字個數min =  = 1。則其相關處理的描述如下：
圖1 初始結構   1) 刪除關鍵字30     分析：關鍵字30為非最底層結點，其為2.1節的第1）種情況。     Step1：找到以子結點[2| 15, 18]為根結點的子樹中的最大關鍵字22替代[1| 30]中的關鍵字30，可視為結點[2| 20, 22]中的最大關鍵字22被刪除，變為[1| 20]；
圖2 替代關鍵字
    Step2：子結點[2| 20, 22]中的最大關鍵字22被刪除後，其變為[1| 20]。與情況2中的2.1）一致，即刪除前num=2 (num > )，刪除後num=1 >= min，故刪除操作結束。
圖3 最終結果
  2) 刪除關鍵字20     分析：因結點[1| 20]為最底層結點，刪除前結點[1| 20]中的關鍵字個數num=，且brother結點[2|16, 17]的關鍵字個數num>，因此其處理情況與情況2.2.1）是一致的。     Step1：刪除結點[1| 20]中關鍵字20後，只需按照2.2.1）的情況執行“結點node可以向brother借用一個結點，但是需要以父結點的關鍵字為跳板，此時刪除操作處理完成”。即：node向brother結點[1| 16, 17]借用關鍵字17，再以parent結點[2| 15，18]的關鍵字18作為跳板，此時刪除操作處理完成。因滿足條件“如果父結點parent中的一個關鍵字被插入到了新結點後，父結點parent的關鍵字個數num>=，則刪除操作處理完成”，故刪除操作處理完成。
圖4 借用關鍵字

圖5 最終結果
 3)刪除關鍵字16     分析：因結點[1| 16]為最底層結點，刪除前結點[1| 16]中的關鍵字個數num=，且brother結點[1|18]的關鍵字個數num=，因此其處理情況與情況2.2.2）是一致的。     Step1：刪除結點[1| 16]中關鍵字20後，只需按照2.2.2）的情況執行“將node和brother進行合併為一個結點new，同時需要將父結點parent中夾在node和brother之間的關鍵字插入到新結點new中”。即：node結點[1| 16]被刪關鍵字16後，成了node結點[0| ]，其再和brother結點[1| 18]以及parent中的關鍵字17合併，成了new結點[2| 17，18]。
圖6 結點合併
圖7 最終結果
    只需依以上處理過程類推，就可達到維護B樹結構的結果...

2.3 程式碼實現

/****************************************************************************** **函式名稱: btree_delete **功    能: 刪除指定關鍵字 **輸入引數:  **     btree: B樹 **     key: 關鍵字 **輸出引數: NONE **返    回: 0:success !0:failed **實現描述:  **注意事項:  **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 # ******************************************************************************/int btree_delete(btree_t *btree, int key){    int idx = 0;    btree_node_t *node = btree->root;    while(NULL != node) {        for(idx=0; idx<node->num; idx++) {            if(key == node->key[idx]) {                return _btree_delete(btree, node, idx);            }            else if(key < node->key[idx]) {                break;            }        }        node = node->child[idx];    }    return 0;}

程式碼1 對外介面

/****************************************************************************** **函式名稱: _btree_delete **功    能: 在指定結點刪除指定關鍵字 **輸入引數:  **     btree: B樹 **     node: 指定結點 **     idx: 將被刪除的關鍵字在結點node中位置(0 ~ node->num - 1) **輸出引數: NONE **返    回: 0:success !0:failed **實現描述:  **     使用node->child[idx]中的最大值替代被刪除的關鍵字,  **     並依次向下處理直至最底層結點,  **     -- 其實最終其處理過程相當於是刪除最底層結點的關鍵字 **注意事項:  **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 # ******************************************************************************/static int _btree_delete(btree_t *btree, btree_node_t *node, int idx){    btree_node_t *orig = node, *child = node->child[idx];    /* 使用node->child[idx]中的最大值替代被刪除的關鍵字 */    while(NULL != child) {        node = child;        child = node->child[child->num];    }    orig->key[idx] = node->key[node->num - 1];    /* 最終其處理過程相當於是刪除最底層結點的關鍵字 */    node->key[--node->num] = 0;    if(node->num < btree->min) {        return btree_merge(btree, node);    }    return 0;}

程式碼2 刪除結點

/****************************************************************************** **函式名稱: btree_merge **功    能: 合併結點 **輸入引數:  **     btree: B樹 **     node: 該結點關鍵字數num<min **輸出引數: NONE **返    回: 0:success !0:failed **實現描述:  **    處理情況分類: **     1) 合併結點的情況: node->num + brother->num + 1 <= max **     2) 借用結點的情況: node->num + brother->num + 1 >  max **注意事項:  **     node此時為最底層結點 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 # ******************************************************************************/static int btree_merge(btree_t *btree, btree_node_t *node){    int idx = 0, m = 0, mid = 0;    btree_node_t *parent = node->parent, *right = NULL, *left = NULL;    /* 1. node是根結點, 不必進行合併處理 */    if(NULL == parent) {        if(0 == node->num) {            if(NULL != node->child[0]) {                btree->root = node->child[0];                node->child[0]->parent = NULL;            } else {                btree->root = NULL;            }            free(node);        }        return 0;    }    /* 2. 查詢node是其父結點的第幾個孩子結點 */    for(idx=0; idx<=parent->num; idx++) {        if(parent->child[idx] == node) {            break;        }    }    if(idx > parent->num) {        fprintf(stderr, "[%s][%d] Didn't find node in parent's children array!\n", __FILE__, __LINE__);        return -1;    }    /* 3. node: 最後一個孩子結點(left < node)     * node as right child */    else if(idx == parent->num) {        mid = idx - 1;        left = parent->child[mid];        /* 1) 合併結點 */        if((node->num + left->num + 1) <= btree->max) {            return _btree_merge(btree, left, node, mid);        }        /* 2) 借用結點:brother->key[num-1] */        for(m=node->num; m>0; m--) {            node->key[m] = node->key[m - 1];            node->child[m+1] = node->child[m];        }        node->child[1] = node->child[0];        node->key[0] = parent->key[mid];        node->num++;        node->child[0] = left->child[left->num];        if(NULL != left->child[left->num]) {            left->child[left->num]->parent = node;        }        parent->key[mid] = left->key[left->num - 1];        left->key[left->num - 1] = 0;        left->child[left->num] = NULL;        left->num--;        return 0;    }        /* 4. node: 非最後一個孩子結點(node < right)     * node as left child */    mid = idx;    right = parent->child[mid + 1];    /* 1) 合併結點 */    if((node->num + right->num + 1) <= btree->max) {        return _btree_merge(btree, node, right, mid);    }    /* 2) 借用結點: right->key[0] */    node->key[node->num++] = parent->key[mid];    node->child[node->num] = right->child[0];    if(NULL != right->child[0]) {        right->child[0]->parent = node;    }    parent->key[mid] = right->key[0];    for(m=0; m<right->num; m++) {        right->key[m] = right->key[m+1];        right->child[m] = right->child[m+1];    }    right->child[m] = NULL;    right->num--;    return 0;}

程式碼3 合併結點

/****************************************************************************** **函式名稱: _btree_merge **功    能: 合併結點 **輸入引數:  **     btree: B樹 **     node:  **     brother: **輸出引數: NONE **返    回: 0:success !0:failed **實現描述:  **注意事項:  **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 # ******************************************************************************/static int _btree_merge(btree_t *btree, btree_node_t *left, btree_node_t *right, int mid){    int m = 0;    btree_node_t *parent = left->parent;    left->key[left->num++] = parent->key[mid];    memcpy(left->key + left->num, right->key, right->num*sizeof(int));    memcpy(left->child + left->num, right->child, (right->num+1)*sizeof(btree_node_t *));    for(m=0; m<=right->num; m++) {        if(NULL != right->child[m]) {            right->child[m]->parent = left;        }    }    left->num += right->num;    for(m=mid; m<parent->num-1; m++) {        parent->key[m] = parent->key[m+1];        parent->child[m+1] = parent->child[m+2];    }    parent->key[m] = 0;    parent->child[m+1] = NULL;    parent->num--;    free(right);    /* Check */    if(parent->num < btree->min) {        return btree_merge(btree, parent);    }    return 0;}

程式碼4 合併結點

2.4 結果展示

圖8 結果展示

           

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你好！ 這是你第一次使用 **Markdown編輯器** 所展示的歡迎頁。如果你想學習如何使用Markdown編輯器, 可以仔細閱讀這篇文章，瞭解一下Markdown的基本語法知識。

新的改變

我們對Markdown編輯器進行了一些功能拓展與語法支援，除了標準的Markdown編輯器功能，我們增加了如下幾點新功能，幫助你用它寫部落格：

1. 全新的介面設計 ，將會帶來全新的寫作體驗；
2. 在創作中心設定你喜愛的程式碼高亮樣式，Markdown 將程式碼片顯示選擇的高亮樣式 進行展示；
3. 增加了 圖片拖拽 功能，你可以將本地的圖片直接拖拽到編輯區域直接展示；
4. 全新的 KaTeX數學公式 語法；
5. 增加了支援甘特圖的mermaid語法¹ 功能；
6. 增加了 多螢幕編輯 Markdown文章功能；
7. 增加了 焦點寫作模式、預覽模式、簡潔寫作模式、左右區域同步滾輪設定 等功能，功能按鈕位於編輯區域與預覽區域中間；
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功能快捷鍵

撤銷：Ctrl/Command + Z
重做：Ctrl/Command + Y
加粗：Ctrl/Command + B
斜體：Ctrl/Command + I
標題：Ctrl/Command + Shift + H
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有序列表：Ctrl/Command + Shift + O
檢查列表：Ctrl/Command + Shift + C
插入程式碼：Ctrl/Command + Shift + K
插入連結：Ctrl/Command + Shift + L
插入圖片：Ctrl/Command + Shift + G

合理的建立標題，有助於目錄的生成

直接輸入1次#，並按下space後，將生成1級標題。
輸入2次#，並按下space後，將生成2級標題。
以此類推，我們支援6級標題。有助於使用TOC語法後生成一個完美的目錄。

如何改變文字的樣式

強調文字 強調文字

加粗文字 加粗文字

標記文字

刪除文字

引用文字

H₂O is是液體。

2¹⁰ 運算結果是 1024.

插入連結與圖片

連結: link.

圖片:

帶尺寸的圖片:

當然，我們為了讓使用者更加便捷，我們增加了圖片拖拽功能。

如何插入一段漂亮的程式碼片

去部落格設定頁面，選擇一款你喜歡的程式碼片高亮樣式，下面展示同樣高亮的 程式碼片.

// An highlighted block var foo = 'bar'; 

生成一個適合你的列表

• 專案
  • 專案
    • 專案

1. 專案1
2. 專案2
3. 專案3

• 計劃任務
• 完成任務

建立一個表格

一個簡單的表格是這麼建立的：

專案	Value
電腦	$1600
手機	$12
導管	$1

設定內容居中、居左、居右

使用:---------:居中
使用:----------居左
使用----------:居右

第一列	第二列	第三列
第一列文字居中	第二列文字居右	第三列文字居左

SmartyPants

SmartyPants將ASCII標點字元轉換為“智慧”印刷標點HTML實體。例如：

TYPE	ASCII	HTML
Single backticks	'Isn't this fun?'	‘Isn’t this fun?’
Quotes	"Isn't this fun?"	“Isn’t this fun?”
Dashes	-- is en-dash, --- is em-dash	– is en-dash, — is em-dash

建立一個自定義列表

Markdown

Text-to- HTML conversion tool

Authors

John

Luke

如何建立一個註腳

一個具有註腳的文字。²

註釋也是必不可少的

Markdown將文字轉換為 HTML。

KaTeX數學公式

您可以使用渲染LaTeX數學表示式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N$ 是通過尤拉積分

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$

你可以找到更多關於的資訊 LaTeX 數學表示式here.

新的甘特圖功能，豐富你的文章

gantt
        dateFormat  YYYY-MM-DD
        title Adding GANTT diagram functionality to mermaid
        section 現有任務
        已完成               :done,    des1, 2014-01-06,2014-01-08
        進行中               :active,  des2, 2014-01-09, 3d
        計劃一               :         des3, after des2, 5d
        計劃二               :         des4, after des3, 5d

• 關於 甘特圖 語法，參考 這兒,

UML 圖表

可以使用UML圖表進行渲染。 Mermaid. 例如下面產生的一個序列圖：:

這將產生一個流程圖。:

• 關於 Mermaid 語法，參考 這兒,

FLowchart流程圖

我們依舊會支援flowchart的流程圖：

• 關於 Flowchart流程圖 語法，參考 這兒.

匯出與匯入

匯出

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繼續你的創作。

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1. mermaid語法說明 ↩︎

2. 註腳的解釋 ↩︎