特別說明：要在我的隨筆後寫評論的小夥伴們請注意了，我的部落格開啟了 MathJax 數學公式支援，MathJax 使用$標記數學公式的開始和結束。如果某條評論中出現了兩個$，MathJax 會將兩個$之間的內容按照數學公式進行排版，從而導致評論區格式混亂。如果大家的評論中用到了$，但是又不是為了使用數學公式，就請使用\$轉義一下，謝謝。

想從頭閱讀該系列嗎？下面是傳送門：

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• Linux 桌面玩家指南：02. 以最簡潔的方式打造實用的 Vim 環境 【約 0.97 萬字，7 張圖片】
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• Linux 桌面玩家指南：05. 發部落格必備的圖片處理和視訊錄製神器 【約 0.25 萬字，14 張圖片】
• Linux 桌面玩家指南：06. 優雅地使用命令列及 Bash 指令碼程式語言中的美學與哲學 【約 1.4 萬字，16 張圖片】
• Linux 桌面玩家指南：07. Linux 中的 Qemu、KVM、VirtualBox、Xen 虛擬機器體驗 【約 0.95 萬字，31 張圖片】
• Linux 桌面玩家指南：08. 使用 GCC 和 GNU Binutils 編寫能在 x86 真實模式執行的 16 位程式碼 【約 0.6 萬字，17 張圖片】
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• Linux 桌面玩家指南：11. 在同一個硬碟上安裝多個 Linux 發行版以及為 Linux 安裝 Nvidia 顯示卡驅動 【約 0.4 萬字，22 張圖片】
• Linux 桌面玩家指南：12. 優秀的文字化編輯思想大碰撞（Markdown、LaTeX、MathJax）
  【約 0.4 萬字，8 張圖片】
• Linux 桌面玩家指南：13. 使用 Git 及其 和 Eclipse 的整合 【約 0.6 萬字，31 張圖片】

前言

不知道經常需要做科學計算的朋友們有沒有這樣的好奇：在 Linux 系統下使用什麼工具呢？說到科學計算，首先想到的肯定是 Matlab，如果再說到符號計算，那就非 Mathematica 不可了。可惜，以上兩款軟體都是商業軟體。雖然破解版滿天飛，但是這不符合開源世界的邏輯。在 Linux 系統下，也有非常不錯的科學計算工具，包括符號計算的也有。下面我就來隆重向大家推薦幾款。

Octave

這款軟體是 GNU 出品，在 GNU 的線上文件網站上可以下載到它的完整的幫助文件，我喜歡 pdf 版，可以一口氣從頭讀到尾，很舒服。從語法角度講，Octave 和 matlib 完全相容。下面是其執行效果圖：

它也有 GUI 介面的包裝，那就是 QtOctave，如下圖：

在 Ubuntu 下該軟體的安裝非常簡單，使用如下命令即可：

sudo apt-get install octave
sudo apt-get install qtoctave

Maxima

數值計算使用 Octave，那麼符號計算就少不了 Maxima 了。由於符號計算中，數學公式的顯示也是非常重要的一環，所以我喜歡用它的 GUI 封裝 wxMaxima，該軟體使用如下命令安裝：

sudo apt-get install wxmaxima

下面是它的執行效果圖：

有了 GUI 的封裝，我們的學習曲線都要簡單很多，因為它的功能都在它的選單欄中體現出來了。Maxima 也自帶完善的文件，如下圖：

符號運算不僅能對各種數學公式進行執行、變形、化簡，也可以直接對函式作圖，如下圖：

但是以上介紹的都不是重點。下面的工具才是我這篇隨筆的重量級嘉賓。它就是：

IPython-Notebook

使用 python 進行科學計算最近幾年很火，主要得益於 python 語言和Numpy、SciPy、pandas、matplotlib、SymPy 等庫。另外一個大殺器就是 ipython-notebook，它可以說是提供了在數學方面讀寫算加畫圖一條龍的服務了。Ubuntu 對 Python 的支援真心不錯，先使用下面的命令將以上庫全部安裝：

sudo apt-get install pandas
sudo apt-get install sympy

不是說全部安裝嗎？怎麼只有兩個命令？因為安裝 pandas 時 NumPy、SciPy、matplotlib 都作為依賴項自動安裝了，只有符號計算庫 SymPy 需要另外安裝。然後，使用如下命令安裝 ipython-notebook：

sudo apt-get install ipython-notebook

同理，IPython 也作為依賴項自動安裝了。然後使用如下命令啟動 ipython-notebook：

ipython notebook --pylab=inline

然後 ipython-notebook 就在瀏覽器中啟動了。不錯，這是一個 B/S 應用，我們啟動它時會在我們的機器上建立一個簡單的伺服器，然後用瀏覽器訪問這個伺服器就可以使用 ipython-notebook 了，遠端訪問也行。下面是執行效果：

新建一個筆記後，就會給我們一個輸入程式碼的提示。ipython-notebook 中的內容是由一個一個的輸入區域組成的，稱為 Cell。每一個 Cell 除了可以輸入程式碼，還可以輸入 Markdown、rawtext、heading，如上圖中的選項所示。下面是輸入 Markdown 的效果圖：

按 Shift+Enter 即可結束該區域的輸入，並執行和顯示效果。如果以後要重新編輯裡面的內容，雙擊該區域即可。Markdown 區域也是支援 MathJax 的哦，如下圖：

下面看看使用 NumPy 來進行數值計算和繪圖的效果：

使用 pandas 進行資料分析並繪圖的效果：

最後，看看使用 SymPy 進行符號計算的效果：

從上圖可以看到，SymPy 的 latex 函式可以把輸出的數學公式轉換成 LaTeX 程式碼，不過該程式碼有點問題，它裡面每個反斜槓都變成了雙反斜槓。將該 LaTeX 程式碼複製、修改後，輸入 Markdown 區域就可以看到完美的數學公式了。

我們在 IPython-Notebook 中建立的筆記是可以儲存的，而且儲存的是純文字的 JSON 格式，所以可以非常方便地把它放到 GitHub 進行分享。從 IPython-Notebook 的幫助選單可以很方便地導航到 NumPy、SciPy、matplotlib、pandas、SymPy 的幫助文件。在 matplotlib 的官網中，還專門有一個 gallary 頁面，裡面有各種圖表的縮圖和程式碼，對我們的學習真的是很有幫助哦。

適合數值計算的語言需要具備什麼樣的特色

前面搞了不少工具論，下面再來討論一下程式語言。這段時間，我繼續徜徉在數值計算的世界。為了廣泛學習數值計算方面的知識，我抽空看了 Python 科學計算和數值分析方面的書，也仔細研讀了 Octave 的使用者手冊，甚至連古老的 Fortran、新興的 R 語言我都去逐一瞭解。對於數值計算的庫，我瞭解了一下 Boost 的 uBLAS，以前也用過 OpenCV，當然，瞭解最多的還是 Python 中的 NumPy、SciPy 和 pandas。今天談的內容是我對適合做數值計算的程式語言的一些看法，主要是一些思路方面的東西，不評論具體語言的優劣。另外，我是想到哪兒寫到哪兒，如果有什麼不對的地方歡迎大家指正。

一、元組和陣列

如果數值計算僅僅只是兩個標量之間的加減乘除，那就不需要我在這裡浪費口舌了。向量啊、矩陣啊、多維陣列啊什麼，才是數值計算真正的主角。所以，適合做數值計算的程式語言必須有一個好的方式表示陣列，特別是多維陣列。哪種方式好呢？是這樣：

int a[m][n][k];

還是這樣：

int a[m,n,k];

看似沒有什麼差別，但是如果你想獲取陣列 a 的形狀呢？比如這樣：

？ = a.shape();

或者再更進一步，想改變陣列 a 的形狀呢？比如這樣：

a.reshape(?);

在上面的程式碼中，“?”究竟應該用什麼代替呢？

如果讓我給出答案，我會說：要用元組。很多程式語言中都有元組的概念，比如 Python。元組就是用逗號隔開的幾個值，可以加圓括號，也可以不加。我覺得加上圓括號後可讀性更好。比如 (a,b) 是元組，(3,4,5) 也是元組。如果寫成 [3,4,5] 那就是陣列了，在 Python 中，也稱之為列表。不過 Python 的列表功能比陣列要強大，因為陣列只能儲存同一種資料型別的值，而列表可以儲存任何物件。陣列一般情況下不能動態改變長度，而列表可以。Octave 語言中使用 cell array 這個術語來表示可以儲存不同型別物件的容器。Octave 中的陣列和矩陣是可以動態改變長度的。C 語言的陣列沒有動態改變長度這個功能，而如果使用 C++ 的話，則必須使用 vector<> 模板類。

我認為，一個好的程式語言必須要有“元組”這個一個概念，必須能夠用好大括號、中括號和小括號。在有沒有元組這個問題上，很多語言做得不好，C 語言沒有，C++ 也沒有，Java 沒有，C# 這個有很多新功能的語言也沒有，不要告訴我有 Tuple<> 模板類可以用，那個真的沒有語言內建的元組功能好。在能不能用好大中小括號這個問題上，C 語言就做得不好。你看它不管是初始化陣列，還是初始化 struct，都是用大括號。而 Python 和 JSON 就做得很好嘛，初始化陣列用中括號，初始化物件或字典的時候採用大括號。如果加上小括號表示元組，那就齊活兒了。

數值計算可以針對標量、一維陣列、二維陣列以及n維陣列進行。陣列可以如下組織，如下圖：

元組最大的用途就是可以用來表示陣列的形狀了。比如一維陣列的形狀為 (n,)，請注意其中的逗號不能省略。二維陣列的形狀 (m,n)，三維陣列的形狀 (m,n,k)，依次類推。另外，元組可以用來對陣列中的元素進行索引。比如：

a = [ [1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12], [13,14,15,16] ];
b = a[2,3,3];

元組還有一個很大的用途，那就是可以讓一個函式返回多個值。C 語言在這個方面是做得比較醜陋的，如果一個函式要返回多個值，只能給這個函式傳指標或者多重指標作為引數，C++ 可以傳引用，C# 更加畫蛇添足，專門有一個out關鍵字用來修飾函式的引數。微軟你真是的，你既然能想到out，你就不能想到元組嗎？常見的例子，比如meshgrid()函式可以同時初始化兩個陣列，peak()函式可以同時初始化三個陣列。你看它們用元組多方便：

(xx, yy) = meshgrid(x, y);
(xx, yy, zz) = peak();

另外，元組還可以這樣用，比如交換兩個變數的值：

(a,b) = (b,a);

二、陣列初始化

在數值計算中，陣列的初始化也是非常重要的一環。如果像 C 語言這樣寫：

int a[100] = {1, 2, 3, 4, ... , 100};

估計很多人是要罵孃的。這樣寫：

for(int i=0; i<100; i++){
    a[i] = i+1;
}

也不優雅。我只是想初始化一個數組而已，怎麼就非得要寫一個迴圈呢？如果是二維陣列呢，就得兩層迴圈，三維陣列就得三層。真的是太鬧心了。

另外，如前所述，我也不喜歡在初始化陣列的時候用大括號。我覺得中括號就是為陣列而生。比如這樣：

a = [1, 2, 3, 4];

這就是一個一維陣列，但是如果這樣寫：

a = [ [1, 2, 3, 4] ];

就是一個行向量。如果寫成這樣：

a = [ [1], [2], [3], [4] ];

那麼這就是一個列向量，如下圖：

當然，上面的示例只有四個數字，這麼寫一寫無可厚非。如果是很多數字呢？或者很多維的陣列呢？這時就必須得用到很多初始化函數了，而且這些初始化函式最好能接受元組作為引數來決定陣列的形狀。比如這樣：

a = xrange( 1, 60, (3,4,5) );  //用1到60的數字初始化一個3*4*5的陣列
b = randn ( (3, 4, 5) ); //用隨機數初始化一個3*4*5的陣列

其它的初始化函式還有 linspace()、logspace()、ones()、zeros()、eyes() 等等。這些函式還可以配合 reshape()使用，比如這樣：

c = linspace(0, 2*pi, 60).reshape(3, 4, 5);

在所有的這些初始化中，元組都是重要的組成部分。

三、range 和切片

其實，range 除了可以是一個函式，還可以更省點兒事，像這樣寫：

r = 0:10:2;  //0,2,4,6,8,10
s = 11:0:-3; //11,8,5,2

在某些語言中，也把這個功能叫切片。其實就是:的靈活運用，有標點符號可以用當然不能浪費嘛。使用切片，只需要指定起始值、終止值和步長，就可以獲得一個數字序列。

但是，:最大的用途並不是用來對陣列進行初始化，而是對陣列進行索引。比如，a 是一個三維陣列，可以通過切片來獲取其中的一部分資料。見下面的程式碼：

a = range(1, 60).reshape(3, 4, 5); // a是一個三維陣列
b = a[1, 2:3, 1:4]; // b是一個二維陣列，其值為[ [12, 13, 14, 15], [17, 18, 19, 20]]

切片除了可以指定起始值和終止值外，也可以指定步長。當然，也可以只用一個單獨的:，代表取這一整個軸。關於軸的概念，可以看我前面的圖片。見下面這樣的程式碼：

a = range(1, 60).reshape(3, 4, 5); // a是一個三維陣列
b = a[1, :, :]; // b的值為二維陣列[[1,2,3,4,5], [6,7,8,9,10],  [11,12, 13, 14, 15], [16,17, 18, 19, 20]]

四、不寫迴圈

在對多維陣列進行加減乘除的時候，如果使用傳統的像 C 這樣的語言，則避免不了要寫迴圈。比如要計算兩個多維陣列的加法，不得不寫這樣的程式碼：

m = 10;
n = 20;
k = 30;
a = randn(m, n, k); //形狀為(m, n, k)的三維陣列，初始化為隨機值
b = randn(m, n, k); //形狀為(m, n, k)的三維陣列，初始化為隨機值
for(int i=0; i<m; i++){
    for(int j=0; j<n; j++){
        for(int p=0; p<k; p++){
            c[i, j, p] = a[i, j, p] + b[i, j, p];
        }
    }
}

上面的程式碼當然遠不如下面這樣的程式碼簡潔：

C = A + B;

所以不寫迴圈基本上就成了所有數值計算語言的標準配置。Matlab 和 Octave 是這樣，NumPy 是這樣，R 語言也是這樣。C++ 也在追求這樣，因為 C++ 中有運算子過載的功能，所以可以對矩陣類過載加減乘除運算子。但是 C++ 中運算子的基礎設施有缺陷，比如它沒有乘方運算子（冪運算子），在 Octave 和 NumPy 中，都可以這樣計算 $ x^y $：x**y。但是在 C++ 中，只有使用函式 power(x, y)。不要想 ^ 運算子，它是一個位運算子，所以取冪只有使用 ** 了。另外，多維陣列運算還有特例，比如二維陣列之間加減乘除，既可以是逐元素的加減乘除，也可以是矩陣的加減乘除。向量計算也有特例，既可以是逐元素加減乘除，也可能是向量內積（點乘）。如果正好是長度為 3 的向量，還可以計算叉乘。這些運算子都需要重新定義，所以雖然 C++ 有過載運算子的機制，但是因為這些運算子完全超越了 C++ 的基礎設施，所以 C++ 也沒有辦法寫得很優雅。

不寫迴圈還有一個優點，那就是可以對運算速度進行優化。優化是編譯器或直譯器的責任，寫數值計算程式的人可以完全不用費心。編譯器或直譯器可採取的優化方式有可能是利用 SSE 等多媒體指令集，也可能是發揮多核 CPU 的多執行緒優勢，甚至是使用 GPGPU 計算都有可能。如果使用者非要寫成 C 語言那樣的迴圈，而他又不會內聯彙編或 OpenMP 的話，那麼就談不上什麼運算速度的優化了。

五、廣播

不寫迴圈，直接把兩個多維陣列進行加減乘除當然省事。但是如果兩個陣列的形狀不一樣呢？比如一個二維陣列加一個行向量，或一個二維陣列加一個列向量，甚至是陣列加減乘除一個標量，會出現什麼情況呢？

不用擔心，在面向數值計算的語言中，一般都有“廣播”這樣一個特性。當兩個陣列的形狀不一樣時，形狀比較小的那個往往可以在長度為 1 的維度上進行廣播。如下圖：

六、奇異索引

Fancy indexing，有的書上翻譯成花式索引，但我認為叫奇異索引比較好。它就是指一個低維的陣列，可以使用高維的陣列進行索引，最後得到的結果是一個高維的陣列。如果索引中含有切片，可能會得到一個更高維度的陣列作為結果。

這個概念理解起來比較難。特別是再配合切片使用，更加增加其複雜性。所謂一圖勝千言，先看普通索引的情況：

前面提到，對多維陣列進行索引的時候需要用到元組，元組的長度等同於陣列的維數。對於普通索引而言，元組的各個部分要麼是整數，要麼是切片。而對於奇異索引而言，索引元組的各個組成部分都可能是多維陣列或者切片。如果是多維陣列，則最後得到的陣列的形狀和索引陣列的形狀相同，如果配合切片，則可能得到更高維的陣列。如下圖：

七、函式呼叫

程式語言發展這麼多年，一直在進化，也一直在相互靠攏。對於一個程式語言來說，是應該面向過程還是面向物件？是靜態型別還是動態型別？這些都是值得思考的地方。但是在函式呼叫方面，有一些思想倒是可以學習。

在 C 語言這樣比較古老的語言中，對於函式的引數來說，只有位置引數一種。也就是說，像一個函式傳遞引數的時候，只能正確的引數放到正確的位置，而且引數的個數必須和函式定義的相同。這是最原始的函式呼叫思想。

緊接著，在某些程式語言如 Java、C# 中，有了可選引數這個概念。但是可選引數要放到引數列表的最後面，而且必須提供預設值。當呼叫函式時如果指定了這個引數，則使用呼叫時指定的值，否則使用預設值。

但是我覺得適合數值計算的語言必須還得更進一步，提供關鍵字引數的功能。什麼是關鍵字引數呢？比如對資料進行繪圖的時候，需要指定線型、標籤、標題等各種屬性，可以這樣呼叫函式：

plot(x, y, marker="*", color="r", linestyle="-", title="...", legend="...", xlabel="...", ylabel="...");

每一個引數呼叫的時候都可以指定它的名字，這樣我們就不用去死記各個引數的位置，是不是很方便呢？

八、生態環境

對於一門程式語言而言，生態壞境很重要。在數值計算領域更是如此。因為很多數值計算的庫都是專業的人士寫給專業人士看的，比如物理專業的寫物理領域的演算法，氣象專業的寫氣象專業的演算法，所以不大可能有一個全面的官方的，像 C 或 C++ 這樣一個由 ANSI 定義的庫。

廣泛接受開源社群的貢獻是一個比較好的辦法。Perl 是這樣，Python 也是這樣，新興的 R 語言也是這樣。Perl 有 CPAN，Python 有 PyPI，R 語言也有 CRAN。至於 Matlab，那更是有各種各樣的工具包。

OK，就寫這麼多吧，還有其它的一些什麼特色，我想到後再隨時更新此文。

另外，本文中所有的圖片都是在 Ubuntu 中使用 Inkscape 向量圖軟體繪製而成。

求打賞

我對這次寫的這個系列要求是非常高的：首先內容要有意義、夠充實，資訊量要足夠豐富；其次是每一個知識點要講透徹，不能模稜兩可含糊不清；最後是包含豐富的截圖，讓那些不想裝 Linux 系統的朋友們也可以領略到 Linux 桌面的風采。如果我的努力得到大家的認可，可以掃下面的二維碼打賞一下：

版權申明

該隨筆由京山遊俠在2018年11月16日釋出於部落格園，引用請註明出處，轉載或出版請聯絡博主。QQ郵箱：[email protected]