頻域與時域之間的關係是：
時域離散——頻域週期；
時域週期——頻域離散；
對於連續時間訊號
1.拉普拉斯變換： $X\left(s\right)={\int }_{-}^{}$

∞ ∞ x ( t ) e s

t   d t X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} {x(t)e^{st}} \,{\rm d}t
對應的是s平面

2.傅立葉變換： $X$

( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e j w t   d t X({jw})=\int_{-\infty}^{\infty} {x(t)e^{jwt}} \,{\rm d}t
對應的是連續時間訊號的頻譜，因為 $X(jw)=X(s)|_{s=jw}$所以頻譜與s平面的虛軸相對應
對於離散時間訊號
3.z變換 $X(z)=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)z^{-n}$
對應的是z平面
4.離散時間傅立葉變換（DTFT） $X(e^{jw})=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)e^{-jwn}$
是離散時間訊號頻譜因為 $X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}$對應的是z平面的單位圓
5離散傅立葉變換（DFT） $X({k})=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)W{^{kn}_N}$
時域上是將離散訊號進行週期延拓，週期延拓後進行離散時間傅立葉變換
頻域上是對頻譜進行取樣，將連續頻譜離散化 $X(k)=X(z)|_{z=W{^{-k}_N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}}=X(e^{jw})|_{w=\frac{2\pi}{N}k}$
對應的是z平面單位圓上等N分點
對應的是在頻譜上做間隔為 $w_N=\frac{2\pi}{N}$的取樣

z變換和拉普拉斯變換的關係：
令 $z=e^st$
$s=\sigma +j\Omega$
z表達為 $z=re^{jw}$
則 $r=e^{\sigma t}$
$w=\Omega t$
可見，s平面左半平面對應z平面的單位圓內，s平面虛軸對應z平面的單位圓上。
以上是我對這些變化的理解，歡迎來交流。